Beweis dass Matrizen Basis des Vektorraus bilden, wenn Vektoren eine Basis davon sind

Question

Gegeben sind die Vektoren b₁, . . . , b_n ∈ Kⁿ  

Für i, j ∈ {1, . . . , n} gilt:  A_ij := b_i · ^t b_j ∈ M_n(K).

Zu zeigen ist, dass die Matrizen (A_ij )_i,j=1,...,n genau dann eine Basis des K-Vektorraums M_n(K) bilden, wenn die Vektoren b₁, . . . , b_n eine Basis von K_n bilden.

Answer 1

(Ich schreibe \(b^T\) statt \(^tb\), weil ich das so gewohnt bin.)

Wenn die \(b_i\) linear abhängig sind, gibt es Zahlen \(s_i\) - nicht alle gleich 0 -, so dass die Linearkobination \(\sum_{i=1}^ns_ib_i=0\) ist. Dann auch

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n s_i b_i b_j^T= \sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^ns_ib_i \right)b_j^T=0$$

Also sind dann die Matrizen \((A_{ij})\) linear abhängig.

Andernfalls benutze ich die Matrix B, deren Spalten aus den Vektoren \(b_i\) besteht. Sie isr regulär. Außerdem verwende ich \((B^T)^{-1}=(B^{-1})^T\) und schreibe dafür kurz \(B^{-T}\). Wenn eine Matrix A gegeben ist, möchte ich diese als Linearkombination aus den \((A_{ij})\) darstellen (\(e_i\) bezeichnen die Standard-Einheitsvektoren):

$$A=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n s_{i,j} b_i b_j^T=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n s_{i,j} (Be_i)(Be_j)^T=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n s_{i,j} Be_ie_j^TB^T$$

$$=B\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n s_{i,j} e_ie_j^T\right)B^T \iff B^{-1}AB^{-T}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n s_{i,j} e_ie_j^T$$

Die Matrizen \(e_ie_j^T\)  haben alle Einträge gleich 0 außer einer 1 auf Position (i,j). Daher liest man ab:

$$s_{i,j}=e_i^TB^{-1}AB^{-T}e_j$$