Hängt die Riemann-Integrierbarkeit davon ab, ob das Integral uneigentlich ist?

Question

Es ist G(x) = 0    für x=0

  G(x) = x²*sin(1/x²)     für x>0

Also:

G'(x) = g(x) = 2*x*sin(1/x²) -2*cos(1/x²)/x    für x>0

G'(x) = g(x) = 0    für x=0

Frage: Ist g auf [0,1] riemann-integrierbar?

A: da g endlich viele Unstetigkeitsstellen (eine) hat und ansonsten stetig ist, ist g riemann-integrierbar.

Jedoch wäre im 2. Abschnitt (für x>0) das ganze ja ein uneigentliches Integral. Muss man dann hier noch zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert? (tut es, hab ich ausgerechnet, ergibt sin(1)) oder ist das für die Riemann-Integrierbarkeit egal?

Vielen Dank!

Answer 1

da g endlich viele Unstetigkeitsstellen (eine) hat und ansonsten stetig ist, ist g riemann-integrierbar.

Es scheint als würdest du auf das Lebesgue-Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit anspielen. Das setzt aber voraus, das g beschränkt ist. g ist nicht beschränkt.

Comments

Stimmt! Dankeschön!

Stattdessen könnte ich ja nur das uneigentliche Integral berechnen und wenn der Grenzwert existiert, so wäre die Funktion uneigentlich riemann-integrierbar?

Wäre die Argumentation ausreichend?