Seien \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) beschränkte, R-integrierbare Funktionen. Ziel der Aufgabe ist es, die R-Integrierbarkeit des Produkts \( f g \) auf \( [a, b] \) nachzuweisen. Wir nutzen ohne Beweis, dass für jede beschränkte Funktion \( h:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbb{R} \)
\( \sup _{x \in[\alpha, \beta]} h(x)-\inf _{x \in[\alpha, \beta]} h(x)=\sup _{x, y \in[\alpha, \beta]}(h(x)-h(y)) \)
gilt, wobei
\( \sup _{x, y \in[\alpha, \beta]}(h(x)-h(y)):=\sup \{h(x)-h(y): x, y \in[\alpha, \beta]\} . \)
Da außerdem \( f g=\frac{1}{4}\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right) \) gilt, müssen wir aufgrund der Linearität des Integrals nur zeigen, dass mit \( f \) auch \( f^{2} \mathrm{R} \)-integrierbar ist.
a) Seien \( [\alpha, \beta] \subseteq[a, b] \) und \( \|f\|_{\infty}:=\sup _{x \in[a, b]}|f(x)|<\infty \). Zeigen Sie:
\( \sup _{x \in[\alpha, \beta]} f^{2}(x)-\inf _{x \in[\alpha, \beta]} f^{2}(x) \leq 2\|f\|_{\infty} \sup _{x, y \in[\alpha, \beta]}(f(x)-f(y)) . \)
\( \sup _{x, y \in[\alpha, \beta]}(h(x)-h(y))=\sup _{x, y \in[\alpha, \beta]}|h(x)-h(y)| . \)
b) Sei \( \mathcal{Z} \) eine beliebige Zerlegung von \( [a, b] \). Zeigen Sie:
\( O\left(f^{2}, \mathcal{Z}\right)-U\left(f^{2}, \mathcal{Z}\right) \leq 2\|f\|_{\infty}[O(f, \mathcal{Z})-U(f, \mathcal{Z})] \)
Hinweis: Nutzen Sie Teil (a) und die Aussage aus der Aufgabenstellung.
c) Begründen Sie, weshalb aus Aufgabenteil (b) die R-Integrierbarkeit von \( f^{2} \) auf \( [a, b] \) folgt.
Problem: Könnte mir jemand bitte weiterhelfen?
