Berechnen Sie in Abhängigkeit von n die Unter- und Obersumme.

Question

Hallo, ich weiß nicht, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll.

Gegeben sei \( f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5 x-2 \) und die Zerlegung \( Z_{n}=\left\{1,1+\frac{1}{n}, 1+\frac{2}{n}, \ldots, 1+\frac{n-2}{n}, 1+\frac{n-1}{n}, 2\right\} \) Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( n \) die Unter- und Obersumme und damit
\( \int \limits_{1}^{2} 5 x-2 \mathrm{~d} x \)

Danke im voraus

Answer 1

Hallo,

\( f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5 x-2 \)

Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( n \) die Unter- und Obersumme

Da die Funktion \(f\) monoton steigend ist, gilt hier für Unter- \(U_n\) und Obersumme \(O_n\)$$U_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} f\left(1+\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n} \\ O_n =\sum\limits_{k=1}^{n} f\left(1+\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n}$$Und das Integral erhält man, wenn man bei einer der beiden Summen \(n\) gegen \(\infty\) laufen lässt:$$\begin{aligned} &\phantom{=}\int\limits_{x=1}^{2} \left(5x - 2\right)\,\text dx \\&= \lim\limits_{n \to \infty} U_n\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(5\left(1+\frac{k}{n}\right)-2\right) \cdot \frac{1}{n}\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n}\left(3+\frac{5k}{n}\right)\\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(\left(\frac{3}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} 1\right) + \left(\frac{5}{n^2}\sum\limits_{k=0}^{n-1} k \right)\right)\\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(3  + \frac{5}{n^2}\cdot \frac{n(n-1)}{2}\right)\\ &= 3 + \lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{5}{2} - \frac{5}{2n}\right) \\ &= 3 + \frac 52\\ &= \frac{11}{2} \end{aligned}$$Die Berechnung auf Grundlage von \(O_n\) ist fast identisch

Gruß Werner