Untersumme und Obersumme berechnen

Question

Die Funktion lautet f(x) = 2x^2+1 im Intervall [0;2]

um die Untersumme U8 und Obersumme O8 habe ich folgendes raus:

U8 = 1/8*((2*(0^2)+1)+(2*(1/8)^2)+1)+(2*(2/8)^2)+1)+(2*(3/8)^2)+1)+(2*(4/8)^2)+1)+(2*(5/8)^2)+1)+(2*(6/8)^2)+1)+(2*(7/8)^2)+1)+(2*(8/8)^2)+1)+(2*(9/8)^2)+1)+(2*(10/8)^2)+1)+(2*(11/8)^2)+1)+(2*(12/8)^2)+1)+(2*(13/8)^2)+1)+(2*(14/8)^2)+1)+(2*(15/8)^2)+1)) =

und

O8 = 1/8*((2*(1/8)^2)+1)+(2*(2/8)^2)+1)+(2*(3/8)^2)+1)+(2*(4/8)^2)+1)+(2*(5/8)^2)+1)+(2*(6/8)^2)+1)+(2*(7/8)^2)+1)+(2*(8/8)^2)+1)+(2*(9/8)^2)+1)+(2*(10/8)^2)+1)+(2*(11/8)^2)+1)+(2*(12/8)^2)+1)+(2*(13/8)^2)+1)+(2*(14/8)^2)+1)+(2*(15/8)^2)+1)+(2*(16/8)^2)+1)) =

Mein Problem ist nun ich habe für U8 52.97 raus und für O8 61.84. Ich habe aber bei U4 und O4 2,875 und 3,125 raus.

Kann jemand die Werte für U8 und O8 für mich in den Taschenrechner packen? Ich bekomm entweder nichts raus oder U8 52.97 und für O8 61.84

Also was ist hier U8 und O8

Danke ^^!

Answer 1

Wenn du das Intervall [0;2] in 8 gleiche Teile teilst, ist die

Streifenbreite 1/4 nicht 1/8.

Also U8 sieht so aus , versuche es mal mit der Summenschreibweise

und dann vereinfachen

$$U8=\sum \limits_{n=0}^{7}(\frac{1}{4}  \cdot(2 \cdot(\frac{n}{4})^2 +1)) =\frac{1}{4}  \cdot (\sum \limits_{n=0}^{7}(2 \cdot(\frac{n}{4})^2) +\sum \limits_{n=0}^{7}1)$$

$$ =\frac{1}{4}  \cdot (\sum \limits_{n=0}^{7}(2 \cdot(\frac{n}{4})^2) +8) =\frac{1}{2}  \cdot \sum \limits_{n=0}^{7}(\frac{n}{4})^2 +2$$

$$ =\frac{1}{2}  \cdot \sum \limits_{n=0}^{7}\frac{n^2}{16} +2 =\frac{1}{32}  \cdot \sum \limits_{n=0}^{7}n^2 +2 $$

$$=\frac{140}{32}   +2  = \frac{51}{8} $$

Answer 2

U₈=\( \frac{1}{4} \)·\( \sum\limits_{n=0}^{7}{f(k/4)} \)=\( \frac{51}{8} \).

O₈=\( \frac{1}{4} \)·\( \sum\limits_{n=1}^{8}{f(k/4)} \)=\( \frac{67}{8} \).