Ansatz:
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Beispiel 18.2.12. Für \( b>0 \) betrachten wir die Funktion \( f:[0, b] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x \). Für \( n \in \mathbb{N} \) definieren wir die Zerlegung \( Z_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n}\right\} \) von \( [0, b] \) durch
\( x_{k}=\frac{k b}{n} . \)
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Dann gilt \( x_{k}-x_{k-1}=b / n \). Für die Obersumme \( O\left(f, Z_{n}\right) \) erhalten wir
\( \begin{aligned} O\left(f, Z_{n}\right) & =\sum \limits_{k=1}^{n}\left(x_{k}-x_{k-1}\right) \cdot \sup \left\{f(x) \mid x \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]\right\}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{b}{n} \cdot \frac{k b}{n} \\ & =\frac{b^{2}}{n^{2}} \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{b^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2 n} . \end{aligned} \)
Analog folgt für die Untersumme
\( U\left(f, Z_{n}\right)=\frac{b^{2}}{2}-\frac{b}{2 n} . \)
Damit gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(O\left(f, Z_{n}\right)-U\left(f, Z_{n}\right)\right)=0 \). Nach Korollar 18.2.10 ist \( f \) integrierbar mit
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} O\left(f, Z_{n}\right)=\frac{b^{2}}{2} . \)
Um das Integral einer integrierbaren Funktion zu berechnen, ist es unpraktisch, alle möglichen Zerlegungen zu betrachten. Auch wenn wir obiges Korollar anwenden wollen, müssen wir erst eine Folge von Zerlegungen finden, für die Ober- und Untersumme den gleichen Grenzwert haben. Der folgende Satz besagt nun, dass es egal ist, welche Folge von Zerlegungen wir wählen, solange die Feinheit der Zerlegungen beliebig klein wird.
