Ich gehe mal davon aus,
dass \(N(\beta)=\{v\in V:\; \beta(v,w)=0\; \forall w\in V\}\) ist.
Seien \(x\) und \(y\) die Koordinatenvektoren von \(v,w\)
bezgl. der Basis \(B\) und \(A\) die darstellende Matrix
von \(\beta\) bzgl. \(B\), dann ist
\(\beta(u,v)=x^T\cdot A\cdot y\). Mit dieser
Darstellung von \(\beta\) kannst du vielleicht etwas anfangen?
Z.B. weißt du, dass es genau dann ein \(y\neq 0\)
gibt mit \(A\cdot y=0\), wenn \(A\) nicht invertierbar ist.