Untersuchen Sie, welche Rechtecke bei gegebenem Umfang u > 0 maximalen Flächeninhalt haben

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, welche Rechtecke bei gegebenem Umfang u > 0 maximalen Flächeninhalt haben

Text erkannt:

(i) Seien \( x, y \) die Kantenlängen eines beliebigen Rechtecks. Geben Sie Formeln für den Umfang \( u \) und den Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks an, und ersetzen Sie \( y \) durch einen Ausdruck mit \( u \) und \( x \), so dass Sie \( A \) als Funktion von \( x \) darstellen können. Betrachten Sie im Folgenden den Definitionsbereich \( I:=\left[0, \frac{u}{2}\right] \) von \( A \).
\( (3 \mathrm{P} \).
(ii) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Extremalstellen von \( A \).
\( (3 \mathrm{P} \).
(iii) Geben Sie \( \max _{I} A \) an und begründen Sie, wie Sie auf Ihr Ergebnis kommen.
(2P.)

Answer 1

1. u= 2*(x+y)

y= u/2 -x

A = x*y

A(x) = x*(u/2 -x) = -x^2 + u/2*x

A'(x) = 0

-2x +u/2 =0

x= u

Amax= -u^2+u^2/2

Comments

x= u

Deine Lösung liegt niht im Definitionsbereich.

---

Ein bisschen nachdenken darf der TS auch.

---

-2x +u/2 =0
x= u

Das ist wohl falsch

---

-2x = -u/2|* (-2)

x = u

Was soll daran falsch sein?

---

-2x = -u/2|* (-2)
x = u
Was soll daran falsch sein?

Ein bisschen nachdenken darf der TS auch.

Ein bisschen nachdenken darf der Kommentator auch:

-2x = -u/2| * (-2)           Wieso  | * (-2)   ??

→   4x = u

---

Ich sehe es, sorry, ich war unterbewusst auf der falschen Seite.

Dann passt auch die Lösung. Danke!

Das hätte hj auch sagen können.

Answer 2

Hallo

Da steht doch genau , was du machen sollst?

U=2x+2y , A=x*y y aus U bestimmen , in A einsetzen, dann hast du A(x) mit dem Parameter U. Davon das max bestimmen, entweder durch differenzieren oder indem du die quadratische Funktion auf Scheitelpunktform bringst.

(achte auch auf Randextrema im Definitionsgebiet. )

Gruß lul

Answer 3

i)

u = 2·x + 2·y --> y = u/2 - x

A(x) = x·y = x·(u/2 - x) = u/2·x - x^2

ii)

A'(x) = u/2 - 2·x = 0 --> x = u/4

A(0) = 0
A(u/4) = u^2/16
A(u/2) = 0

ii)

Amax = u^2/16