Matrix(2n,2n) zeige dass M € Symp(2n) invertierbar ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( J:=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(2 n, 2 n) \). Sei weiter

Text erkannt:

\( \operatorname{Symp}(2 n):=\left\{M \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(2 n, 2 n) \mid M^{T} J M=J\right\} \)
a) Bestimmen Sie det \( J \).
b) Zeigen Sie, dass alle \( M \in \operatorname{Symp}(2 n) \) invertierbar sind und dass gilt: \( M^{-1}=J^{-1} M^{T} J \).
c) Seien \( M, N \in \operatorname{Symp}(2 n) \). Zeigen Sie, dass dann auch \( M \cdot N \in \operatorname{Symp}(2 n) \).
d) Sei nun \( M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right) \) mit \( A, B, C, D \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(n, n) \) beliebig. Zeigen Sie: \( M \in \operatorname{Symp}(2 n) \) genau dann, wenn \( A^{T} C \) symmetrisch, \( B^{T} D \) symmetrisch und \( A^{T} D-C^{T} B=E_{n} \).
e) (Bonus) Zeigen Sie: \( \operatorname{Symp}(2 n) \) ist eine Untergruppe von \( \mathrm{GL}(2 n, \mathbb{R}) \).

Answer 1

Zu a)

Wenn man die Spalten k mit den Spalten n+k für k=1,...,n

vertauscht, multipliziert sich \(\det(J)\) mit dem Faktor \((-1)^n\).

Nach der Vertauschung liegt eine Blockmatrix vor mit

den beiden Diagonalblöcken \(E_n\) und \(-E_n\).

Deren Determinante ist \(det(E_n)\cdot \det(-E_n)\), also

\(det(J)=(-1)^n\cdot \det(E_n)\cdot \det(-E_n)=(-1)^{2n}\cdot 1=1\).

Zu b)

Da \(M^TJM=J\) ist, liefert der Multiplikationssatz für Determinanten:

\(1=\det(J)=\det(M^T)\det(J)\det(M)\), also \(\det(M)\neq 0\).

Folglich ist \(M\) invertierbar.