Zeige, dass die Jacobi Matrix invertierbar ist

Question

Sei \(B=\){\(x\in \mathbb{R}^n: |x|<1\)} und die Abbildung

\(f:B\rightarrow \mathbb{R}^n\) mit \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x\cdot x}}\)

wobei \(x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i\) das Standardskalarprodukt ist.

Die Jacobi-Matrix Df(x) hat die Komponenten:

$$\frac{\delta_{kl}(1-x\cdot x)+x_kx_l}{(1-x \cdot x)^{\frac{3 }{2}}}$$

Zeige nun, dass Df(x) invertierbar ist für alle \(x\in B\)

Irgendwie muss ich doch zeigen, dass die Determinante nicht 0 ist für alle x aus B aber ich weiss nicht wie ich das zeigen soll. Muss ich es irgendwie mit dir positiven Definitheit zeigen? 

Answer 1

Hi, zeige das die Matrix positiv definit ist und probier das mal für \( n = 2 \) und dann verallgemeinern. Falls das nicht klar sein sollte heute Abend mehr.

Comments

Wie zeige ich die positive Definitheit? Hier sieht es nicht wirklich praktisch aus über die Eigenwerte zu gehen. Am Besten mit dem Hurwitz-Kriterium?

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Hi,

ich meine folgendes. Eine Matrix ist positiv definit wenn gilt

$$  u^T \cdot J \cdot u > 0 $$ für alle \( u \in \mathbb{R}^n \). Hier bedeutet das folgendes

$$  u^T \cdot J \cdot u = \sum_{k,l = 1}^n J_{kl}\ u_k\ u_l = \sum_{k=1}^n J_{kk}\ u_k^2 + \sum_{k \ne l} J_{kl}\ u_k\ u_l = $$

$$ \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( \sum_{k=1}^n (1-|x|^2+x_k^2)\ u_k^2 + \sum_{k\ne l}x_k\ x_l\ u_k\ u_l  \right) = $$

$$ \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( \sum_{k=1}^n (1-|x|^2)u_k^2 + \sum_{k=1}^n x_k^2\ u_k^2 + \sum_{k\ne l}x_k\ x_l\ u_k\ u_l  \right) = $$

$$ \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left[ (1-|x|^2)\ |u|^2 + \left( \sum_{k=1}^n x_k\ u_k \right)^2 \right] > 0 $$

Also ist die Matrix positiv definit und somit invertierbar.