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Sei \(B=\){\(x\in \mathbb{R}^n: |x|<1\)} und die Abbildung

\(f:B\rightarrow \mathbb{R}^n\) mit \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x\cdot x}}\)

wobei \(x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i\) das Standardskalarprodukt ist.

Die Jacobi-Matrix Df(x) hat die Komponenten:

$$\frac{\delta_{kl}(1-x\cdot x)+x_kx_l}{(1-x \cdot x)^{\frac{3 }{2}}}$$


Zeige nun, dass Df(x) invertierbar ist für alle \(x\in B\)

Irgendwie muss ich doch zeigen, dass die Determinante nicht 0 ist für alle x aus B aber ich weiss nicht wie ich das zeigen soll. Muss ich es irgendwie mit dir positiven Definitheit zeigen?

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Hi, zeige das die Matrix positiv definit ist und probier das mal für \( n = 2 \) und dann verallgemeinern. Falls das nicht klar sein sollte heute Abend mehr.

Avatar von 39 k

Wie zeige ich die positive Definitheit? Hier sieht es nicht wirklich praktisch aus über die Eigenwerte zu gehen. Am Besten mit dem Hurwitz-Kriterium?

Hi,

ich meine folgendes. Eine Matrix ist positiv definit wenn gilt

$$  u^T \cdot J \cdot u > 0 $$ für alle \( u \in \mathbb{R}^n \). Hier bedeutet das folgendes

$$  u^T \cdot J \cdot u = \sum_{k,l = 1}^n J_{kl}\ u_k\ u_l = \sum_{k=1}^n J_{kk}\ u_k^2 + \sum_{k \ne l} J_{kl}\ u_k\ u_l = $$

$$ \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( \sum_{k=1}^n (1-|x|^2+x_k^2)\ u_k^2 + \sum_{k\ne l}x_k\ x_l\ u_k\ u_l  \right) = $$

$$ \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( \sum_{k=1}^n (1-|x|^2)u_k^2 + \sum_{k=1}^n x_k^2\ u_k^2 + \sum_{k\ne l}x_k\ x_l\ u_k\ u_l  \right) = $$

$$ \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left[ (1-|x|^2)\ |u|^2 + \left( \sum_{k=1}^n x_k\ u_k \right)^2 \right] > 0 $$

Also ist die Matrix positiv definit und somit invertierbar.

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