Ist die Jacobi Matrix von f invertierbar? f(x,y,z):= (sin(x+y)e^z, cos(x+y)e^z, x + y^2 + z)

Question

Hallo

ich habe schon die Jacobi Matrix ausgerechnet nur ist mir nicht klar ,wann ist die Matrix invertierbar.

und Jacobi Matrix

(cos(x+y)e^z , cos(x+y)e^z , sin(x+y)e^z

-sin(x+y)e^z , -sin(x+y)e^z , cos(x+y)e^z

1 , 2y , 1 )

Answer 1

Hi,

die Jacobi Matrix ist dort invertierbar, wo die Determinante \( \ne 0 \) ist. Die Determinante ist \( e^{2z}(2y-1) \) also ist die Jacobimatrix für \( y \ne \frac{1}{2} \) invertierbar.

Comments

ist die gegebene matrix richtig ?

(cos(x+y)e^z , cos(x+y)e^z , sin(x+y)e^z

-sin(x+y)e^z , -sin(x+y)e^z , cos(x+y)e^z

1 , 2y , 1 )

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Ich denke schon                                                        

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dann wie bekommt man für Determinante e2z(2y−1) ?

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kannst du die Rechnung der Determinante zeigen ?

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Ganz normal ausrechnen, wie man das bei 3 x 3 Matrizen eben macht. Regel von Sarrus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

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Ja , Regel weiß ich schon aber das Ergebnis bekomme ich leider nicht.

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Vielleicht noch daran denken, dass \( \cos(z)^2 + \sin(z)^2 = 1 \) gilt.

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ich bekomme

cos(x+y)*( - sin(x*y)e^2z) +(cos(x+y)*e^z)^2 + -2y*(sin(x+y)*e^z)^2 - ( -sin(x+y)e^z + 2y((cos(x+y)e^z)^2 - (sin(x+y)e^z)^2 ) ...

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Das ist nicht richtig, es glt

$$ -\cos(x+y) \sin(x+y) e^{2z} +\cos^2(x+y) e^{2z} -  \sin^2(x+y) e^{2z} 2y +\sin^2(x+y) e^{2z} - \cos^2(x+y) e^{2z} 2y + \cos(x+y) \sin(x+y) e^{2z}  $$

Jetzt vereinfachen.

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Vielen Dank ! Ist dann das Ergebnis nicht : e^2z*(1-2y) ?

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Ja, das hatte ich schon ganz am Anfang geschrieben.