Bestimmen Sie, in welchen Punkten die Jacobi-Matrizen aus invertierbar sind.

Question

Hallo :)

Ich sollte aus den folgenden Abbildungen die Jacobi Matrix bestimmen, das hab ich gemacht und es wird auch richtig sein, aber die 2. Aufgabe verstehe ich nicht ganz.

Bestimmen Sie, in welchen Punkten die Jacobi-Matrizen invertierbar sind.

Ich weiß was ein Inverses ist, aber ich verstehe nicht was direkt verlangt wird. Der Ausdruck "In welchen Punkten" lässt mich grübeln. :D

(i)  F(r,φ) := (r* cosφ, r*sinφ)^T

(ii) G(r,θ,φ) := (r* cosθ* cosφ, r* cosθ* sinφ, r* sinθ)^T 

  Wäre echt toll, wenn mir jemand die Aufgabe erklärt, am besten wenn jemand sie anhand von (i) zeigt. :D Dazu Die JM:

J = ( cosφ       -r*sinφ)F         sinφ        r*cosφ

Comments

ich habs nicht hinbekommen die Matrix untereinander zu schreiben, ich hoffe es ist trotzdem verständlich

---

Wenn Du weisst, was eine Inverse ist, dann wirst Du auch wissen, dass nicht jede Matrix eine hat. Wenn die Jacobi-Matrix vom Ort abhaengt, dann koennte es wohl gut sein, dass sie nicht an jedem, aber vielleicht immerhin an manchen Orten invertierbar ist. Die Bestimmung genau dieser Orte ist Deine Aufgabe. Vielleicht solltest Du mal in Deinen Aufzeichnungen zur Linearen Algebra nach Kriterien für Invertierbarkeit suchen?

Answer 1

die Matrix  (ich schreib mal f statt phi)
cos(f)                sin(f);
-r*sin(f)            r*cos(f)

hat die Determinante

r* cos^2(f) + r* sin^2(f) = r* ( cos^2(f) + sin^2 (f)) = r

also det=0 nur falls r=0.
Das sit der einzige Fall, bei dem sie nicht intertierbar ist.
 

Comments

Wer immer hier antwortet. ICH habe das Monopol auf die richtige Antwort. Ich war noch nicht mal im Vordiplom; so 1971 oder 72 wird es gewesen sein. Wenn du also nicht Bösental bist, musst du mich zitieren.

Pass auf. Die Grünen schlafen nicht; die studieren deine Lösungszettel. Und wehe, da stehen Passagen aus meinen Internetbeiträgen drauf ...

Na siehste doch; du kannst so genial sein, wie du willst. Meinste, dieses Wissen verbreitet sich? Wenn Kommilitone " Rudi " schon so anfing

" Man MÜSSTE ... "

meinte Volker  der Trockene ( Du musst dir jetzt vorstellen; in der Mensa )

" Hier stell dich auf den Tisch und frag in alle vier Himmelsrichtungen, wen dein Gelaber intressiert ... "

Zunächst einmal; hast du je gelesen ===> Courant Hilbert Bd. 2 ? Nein? Ja dann ist mir klar, warum du nix verstehst ( gibt's bei Amazon )

Courant ist quasi wie ein Kumpel; tu doch erst mal dem seinen Lösungsansatz nachvollziehen. Das war quasi mein Startpunkt; ohne Courant hätte ich das Problem nie gemeistert.

( Ich selbst bezeichne mich als Genie der zweiten Reihe. )

Weißt du, was ein VektorFELD ist? Na also. Und diese Transformation von cartesischen in Polarkoordinaten ist doch quasi auch wie ein Feld; sie ist eine Funktion, die sich von Punkt zu Punkt ändert. Offiziell heißt diese Matrix übrigens

A  :=  d  (  x  ;  y  )  /  d  (  r  ;  ß  )      (  1  )

die Matrix von allen vier Ableitungen. Im Courant findest du das spitzenmäßig erklärt; Mensch du kannst doch die Kettenregel. Nur ein Beispiel:

( dy / dx )  =  0       (  2a  )

Warum?  Ich habe doch die Freiheit, in x weiter zu schreiten, ohne dass sich y ändert. Und jetzt die Kettenregel

( dy / dx ) =  (  dy / dr ) ( dr / dx ) + ( dy / dß ) ( dß / dx ) = 0    (  2b  )

Merkste was?  In ( 2b ) tu ich in Wirklichkeit zwei Matrizen miteinander multiplizieren

d x ( i ) / d x ( j )  =  DELTA ( i , j )         (  3a  )

=  [ d ( x ; y ) / d ( r ; ß ) ]  [   d ( r ; ß ) /  d ( x ; y ) ]  =  1|     (  3b  )

Wie sag ich's meinem Kinde? Also beim gewöhn lichen Differenzieren kannst du doch jeden Pauker ärgern, indem du Differenziale kürzt:

( dy / dx ) * ( dx / dy ) = 1     ( 3c )

DDDDDDDie Kettenregel in diesem Sinne verstehst du. Und wenn du die Kettenregel verallgemeinerst auf 4 711 Dimensionen, dann treten an die Stelle der gewöhnlichen Ableitungen Matrizen.

Schau dir noch mal ( 3a ) an; die Matrixelemente von  A in ( 1 ) kennst du. Aber die Elemente von A ^ - 1 kennst du nicht  in ( 2b )

Wenn du das alles ernsthaft durchgearbeitet hast und dann immer noch Fragen sein sollten, schick mir persönlich eine Nachricht.

Aber wenn du's verstanden hast. Hier kommt meine zündende Idee, wie man A ^ - 1 tatsächlich berechnet. Und die Frage, wo A invertierbar ist, ist so trivial - dein Prof weiß noch gar nix von seinem Glück.

Hier wie kann denn der das kennen, wo doch ich der Entdecker bin?

Geh doch mal aus von der Matrixgleichung, die wir eigentlich lösen wollen:

A  A  ^ - 1  =  1|   |  ( A+ )  *      (  4a  )

anmerkung; ich vermerke wie üblich die einzelnen Umformungsschritte. Stern Rechts bedeutet: Matrizenmultiplikation von Links.

Anmerkung.  ( A+ )   ist der zu A ===> Hermitesch konjugierte Operator; ich setze ( 4b ) , womit sich aus ( 4a )  ergibt ( 4c )

H  :=  ( A+ )  A                          (  4b  )

H  A  ^ - 1  =  ( A+ )   |  H ^ -1  *    (  4c  )   

A  ^ - 1  =  H ^ -1  ( A+ )     (  4d  )  

Ja und was " soll "jetzt dieses H ; wie ist das motiviert?  formal juristisch alles richtig.

Ich bin hier ja berüchtigt für meine Comiczitate; ===> Lupo , Fix & Foxy

" Der geheime Schatzplan. Drei Schritt nach Links; 100m Düs.

Fünf Schritt nsch Rechts; 80 m  Düs - Schatz. "

" Was heißt denn ' Düs ' ? "

" Das genau ist ja die Geheimschrift; das musst du rückwärts lesen. Dann heißt es ' Süd '  ..."

Genau so hier. H bildest du aus deiner Matrix A in ( 1 ) , indem du " Spalte mal Spalte " multiplizierst. Und - o Wunder

H  =  diag  (  1  ;  r ²  )    (  5  )

Erstens; die Inverse einer Diagonalmatrix ist trivial. ( Das selbe Verfahren bewährt sich  iNdentisch auch bei Kugelkoordinaten. ) Vergleiche mal meine geniale Lösung mit Courant.

Und zweitens. Der Matrix A in ( 1 ) siehst du so ohne Weiteres nicht an, ob sie invertierbar ist. Dagegen bei H denke ich, das erledigt sich von Selbst ...

also wir haben verstanden: Bei r = 0 kriegen wir Probleme. Was passiert mit Polarkoordinaten in r = 0 ?

Answer 2

  Hierm das soll dochb eine Antwort sein und kein Kommentar.

  Wer immer hier antwortet. ICH habe das Monopol auf die richtige Antwort. Ich war noch nicht mal im Vordiplom; so 1971 oder 72 wird es gewesen sein. Wenn du also nicht Bösental bist, musst du mich zitieren.

   Pass auf. Die Grünen schlafen nicht; die studieren deine Lösungszettel. Und wehe, da stehen Passagen aus meinen Internetbeiträgen drauf ...

   Na siehste doch; du kannst so genial sein, wie du willst. Meinste, dieses Wissen verbreitet sich? Wenn Kommilitone " Rudi " schon so anfing

    " Man MÜSSTE ... "

     meinte Volker  der Trockene ( Du musst dir jetzt vorstellen; in der Mensa )

   " Hier stell dich auf den Tisch und frag in alle vier Himmelsrichtungen, wen dein Gelaber intressiert ... "

   Zunächst einmal; hast du je gelesen ===> Courant Hilbert Bd. 2 ? Nein? Ja dann ist mir klar, warum du nix verstehst ( gibt's bei Amazon )

    Courant ist quasi wie ein Kumpel; tu doch erst mal dem seinen Lösungsansatz nachvollziehen. Das war quasi mein Startpunkt; ohne Courant hätte ich das Problem nie gemeistert.

    ( Ich selbst bezeichne mich als Genie der zweiten Reihe. )

    Weißt du, was ein VektorFELD ist? Na also. Und diese Transformation von cartesischen in Polarkoordinaten ist doch quasi auch wie ein Feld; sie ist eine Funktion, die sich von Punkt zu Punkt ändert. Offiziell heißt diese Matrix übrigens

      A  :=  d  (  x  ;  y  )  /  d  (  r  ;  ß  )      (  1  )

      die Matrix von allen vier Ableitungen. Im Courant findest du das spitzenmäßig erklärt; Mensch du kannst doch die Kettenregel. Nur ein Beispiel:

          ( dy / dx )  =  0       (  2a  )

      Warum?  Ich habe doch die Freiheit, in x weiter zu schreiten, ohne dass sich y ändert. Und jetzt die Kettenregel

         ( dy / dx ) =  (  dy / dr ) ( dr / dx ) + ( dy / dß ) ( dß / dx ) = 0    (  2b  )

 

    Merkste was?  In ( 2b ) tu ich in Wirklichkeit zwei Matrizen miteinander multiplizieren

      d x ( i ) / d x ( j )  =  DELTA ( i , j )         (  3a  )

                                =  [ d ( x ; y ) / d ( r ; ß ) ]  [   d ( r ; ß ) /  d ( x ; y ) ]  =  1|     (  3b  )

 

       Wie sag ich's meinem Kinde? Also beim gewöhn lichen Differenzieren kannst du doch jeden Pauker ärgern, indem du Differenziale kürzt:

          ( dy / dx ) * ( dx / dy ) = 1     ( 3c )

        DDDDDDDie Kettenregel in diesem Sinne verstehst du. Und wenn du die Kettenregel verallgemeinerst auf 4 711 Dimensionen, dann treten an die Stelle der gewöhnlichen Ableitungen Matrizen.

     Schau dir noch mal ( 3a ) an; die Matrixelemente von  A in ( 1 ) kennst du. Aber die Elemente von A ^ - 1 kennst du nicht  in ( 2b )

    Wenn du das alles ernsthaft durchgearbeitet hast und dann immer noch Fragen sein sollten, schick mir persönlich eine Nachricht.

    Aber wenn du's verstanden hast. Hier kommt meine zündende Idee, wie man A ^ - 1 tatsächlich berechnet. Und die Frage, wo A invertierbar ist, ist so trivial - dein Prof weiß noch gar nix von seinem Glück.

   Hier wie kann denn der das kennen, wo doch ich der Entdecker bin?

Die Kettenregel in diesem Sinne verstehst du. Und wenn du die Kettenregel verallgemeinerst auf 4 711 Dimensionen, dann treten an die Stelle der gewöhnlichen Ableitungen Matrizen.

     Schau dir noch mal ( 3a ) an; die Matrixelemente von  A in ( 1 ) kennst du. Aber die Elemente von A ^ - 1 kennst du nicht  in ( 2b )

    Wenn du das alles ernsthaft durchgearbeitet hast und dann immer noch Fragen sein sollten, schick mir persönlich eine Nachricht.

    Aber wenn du's verstanden hast. Hier kommt meine zündende Idee, wie man A ^ - 1 tatsächlich berechnet. Und die Frage, wo A invertierbar ist, ist so trivial - dein Prof weiß noch gar nix von seinem Glück.

   Hier wie kann denn der das kennen, wo doch ich der Entdecker bin?

   Geh doch mal aus von der Matrixgleichung, die wir eigentlich lösen wollen:

          A  A  ^ - 1  =  1|   |  ( A+ )  *      (  4a  )

      anmerkung; ich vermerke wie üblich die einzelnen Umformungsschritte. Stern Rechts bedeutet: Matrizenmultiplikation von Links.

    Anmerkung.  ( A+ )   ist der zu A ===> Hermitesch konjugierte Operator; ich setze ( 4b ) , womit sich aus ( 4a )  ergibt ( 4c )

           H  :=  ( A+ )  A                          (  4b  )

           H  A  ^ - 1  =  ( A+ )   |  H ^ -1  *    (  4c  )   

                A  ^ - 1  =  H ^ -1  ( A+ )     (  4d  )  

    Ja und was " soll "jetzt dieses H ; wie ist das motiviert?  formal juristisch alles richtig.

   Ich bin hier ja berüchtigt für meine Comiczitate; ===> Lupo , Fix & Foxy

   " Der geheime Schatzplan. Drei Schritt nach Links; 100m Düs.

    Fünf Schritt nsch Rechts; 80 m  Düs - Schatz. "

   " Was heißt denn ' Düs ' ? "

   " Das genau ist ja die Geheimschrift; das musst du rückwärts lesen. Dann heißt es ' Süd '  ..."

     Genau so hier. H bildest du aus deiner Matrix A in ( 1 ) , indem du " Spalte mal Spalte " multiplizierst. Und - o Wunder

        H  =  diag  (  1  ;  r ²  )    (  5  )

      Erstens; die Inverse einer Diagonalmatrix ist trivial. ( Das selbe Verfahren bewährt sich  iNdentisch auch bei Kugelkoordinaten. ) Vergleiche mal meine geniale Lösung mit Courant.

    Und zweitens. Der Matrix A in ( 1 ) siehst du so ohne Weiteres nicht an, ob sie invertierbar ist. Dagegen bei H denke ich, das erledigt sich von Selbst ...

    also wir haben verstanden: Bei r = 0 kriegen wir Probleme. Was passiert mit Polarkoordinaten in r = 0 ?