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Sei B=B={xRn : x<1x\in \mathbb{R}^n: |x|<1} und die Abbildung

f : BRnf:B\rightarrow \mathbb{R}^n mit f(x)=x1xxf(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x\cdot x}}

wobei xy=i=1nxiyix\cdot y=\sum_{i=1}^n x_iy_i das Standardskalarprodukt ist.

Die Jacobi-Matrix Df(x) hat die Komponenten:

δkl(1xx)+xkxl(1xx)32\frac{\delta_{kl}(1-x\cdot x)+x_kx_l}{(1-x \cdot x)^{\frac{3 }{2}}}


Zeige nun, dass Df(x) invertierbar ist für alle xBx\in B

Irgendwie muss ich doch zeigen, dass die Determinante nicht 0 ist für alle x aus B aber ich weiss nicht wie ich das zeigen soll. Muss ich es irgendwie mit dir positiven Definitheit zeigen?

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Hi, zeige das die Matrix positiv definit ist und probier das mal für n=2 n = 2 und dann verallgemeinern. Falls das nicht klar sein sollte heute Abend mehr.

Avatar von 39 k

Wie zeige ich die positive Definitheit? Hier sieht es nicht wirklich praktisch aus über die Eigenwerte zu gehen. Am Besten mit dem Hurwitz-Kriterium?

Hi,

ich meine folgendes. Eine Matrix ist positiv definit wenn gilt

uTJu>0 u^T \cdot J \cdot u > 0 für alle uRn u \in \mathbb{R}^n . Hier bedeutet das folgendes

uTJu=k,l=1nJkl uk ul=k=1nJkk uk2+klJkl uk ul= u^T \cdot J \cdot u = \sum_{k,l = 1}^n J_{kl}\ u_k\ u_l = \sum_{k=1}^n J_{kk}\ u_k^2 + \sum_{k \ne l} J_{kl}\ u_k\ u_l =

1(1x2)32(k=1n(1x2+xk2) uk2+klxk xl uk ul)= \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( \sum_{k=1}^n (1-|x|^2+x_k^2)\ u_k^2 + \sum_{k\ne l}x_k\ x_l\ u_k\ u_l \right) =

1(1x2)32(k=1n(1x2)uk2+k=1nxk2 uk2+klxk xl uk ul)= \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left( \sum_{k=1}^n (1-|x|^2)u_k^2 + \sum_{k=1}^n x_k^2\ u_k^2 + \sum_{k\ne l}x_k\ x_l\ u_k\ u_l \right) =

1(1x2)32[(1x2) u2+(k=1nxk uk)2]>0 \frac{1}{ \left( 1-\left|x\right|^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \left[ (1-|x|^2)\ |u|^2 + \left( \sum_{k=1}^n x_k\ u_k \right)^2 \right] > 0

Also ist die Matrix positiv definit und somit invertierbar.

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