M(β) ist invertierbar wenn N(β) = {0}

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, B eine Basis von V und β eine symmetrische
Bilinearform auf V. Wir schreiben N(β) für den Nullraum von β. Zeigen
Sie, dass die darstellende Matrix von β bezüglich B genau dann invertierbar ist, wenn
N(β) = {0}.

Problem/Ansatz:

Ich denke man das irgendwie über die Linearkombination eines Vektors zeigen.

Comments

N(β) für den Nullraum von β.

Wie ist der denn definiert?

Ist es der Unterraum \(\{v\in V: \; \beta(v,w)=0 \; \forall w \in V\}\), also

die Menge \(V^{\perp}\) ?

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Was ist der Skalarkörper?
Sind das die reellen Zahlen?

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das ist tatsächlich alles was gegeben ist.

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Seltsam. Normalerweise wird noch vorausgesetzt,

dass der Körper nicht die Charakteristik 2 hat.

Answer 1

Ich gehe mal davon aus,

dass \(N(\beta)=\{v\in V:\; \beta(v,w)=0\; \forall w\in V\}\) ist.

Seien \(x\) und \(y\) die Koordinatenvektoren von \(v,w\)

bezgl. der Basis \(B\) und \(A\) die darstellende Matrix

von \(\beta\) bzgl. \(B\), dann ist

\(\beta(u,v)=x^T\cdot A\cdot y\). Mit dieser

Darstellung von \(\beta\) kannst du vielleicht etwas anfangen?

Z.B. weißt du, dass es genau dann ein \(y\neq 0\)

gibt mit \(A\cdot y=0\), wenn \(A\) nicht invertierbar ist.

Comments

kannst du das bitte noch ein bisschen weiter Ausformulieren. Ich komme noch nicht ganz dahinter. LG mathehund