Ober- und Untersumme a<c<b. Zeige: i) (obersumme) a ∫^b f(x)dx = (obersumme)a∫^c f(x)dx + (obersumme)c ∫^b f(x)dx

Question

ich bräuchte bitte Hilfe bei einer Aufgabe:

 Es sei a < c < b. Zeigen Sie: 

i)

(obersumme) a ∫ b   f(x)dx = (obersumme)a∫ c  f(x)dx + (obersumme)c ∫ b f(x)dx

ii) 

a ∫ (untersumme) b f(x)dx= a ∫ (untersumme) c f(x)dx + c ∫ (untersumme) b  f(x)dx

mir ist klar, dass das gilt, was dort steht, da c zwischen dem Intervall a,b liegt aber wie kann ich das nun zeigen?

Mit inf & sup oder anders?

Dankeschön.

Answer 1

In der Aussage steht oberes/unteres Integral, nicht Ober-/Untersumme.

Den Beweis kannst Du in jedem Lehrbuch finden, das das Riemann-Integral behandelt, z.B. Analysis 1 von W. Walter, 9.15 Integrale ueber Teilintervalle.

Als Tipp: Fuer jede Zerlegungsnullfolge konvergieren die Untersummen gegen das untere Integral und die Obersummen gegen das obere Integral.