Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Gegeben:\(\quad F(x;y)=10x^2+3xy+12y^2\quad;\quad x;y\ge0\)
Wegen der Beibehaltung des Funktionswertes muss gelten:$$F(4,2;y)=F(4;1)\quad\big|\text{Einsetzen in die Funktionsgleichung}$$$$12y^2+12,6y+176,4=184\quad\big|-184$$$$12y^2+\frac{63}{5}\,y-\frac{38}{5}=0\quad\big|\div12$$$$y^2+\frac{21}{20}\,y-\frac{19}{30}=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$y_{1;2}=-\frac{21}{40}\pm\sqrt{\left(\frac{21}{40}\right)^2+\frac{19}{30}}$$Wegen \(y\ge0\) kommt nur das positive Vorzeichen der Wurzel in Betracht:$$y=-\frac{21}{40}+\sqrt{\frac{4363}{4800}}=-\frac{21}{40}+\sqrt{\frac{13089}{14400}}=-\frac{63}{120}+\frac{\sqrt{13089}}{120}=\frac{\sqrt{13089}-63}{120}$$
Von diesem neuen \(y\)-Wert müssen wir noch den alten \(y\)-Wert \(1\) subtrahieren, um die gesuchte Änderung zu erhalten:$$\pink{\Delta y=\frac{\sqrt{13089}-183}{120}}\approx-0,5716069366\ldots$$
Da nach der "exakten" Veränderung gefragt ist und die Wurzel irrational ist, musst du vermutlich den Bruch mit der Wurzel als Lösung angeben.