Wie hoch ist die exakte Veränderung von x_{2}, wenn sich x_{1} um 0,2 Einheiten erhöht?

Question

Aufgabe:

F(x₁, x₂) = 10⋅x₁² + 3⋅x₁⋅x₂ + 12⋅x₂². Wie hoch ist die exakte Veränderung von x₂, wenn sich x₁ um 0.2 Einheiten an der Stelle a = (4,1)^⊤ und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F(a) erhöht? (Gehen Sie außerdem davon aus, dass x₁ ≥ 0 und x₂ ≥ 0 gilt.)

Problem/Ansatz:

Comments

Du solltest Exponenten hoch- und Indices tiefstellen, sonst ist es schwer lesebar und nicht eindeutig verständlich.

Ich habe Deinen Text dahingehend korrigiert.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Gegeben:\(\quad F(x;y)=10x^2+3xy+12y^2\quad;\quad x;y\ge0\)

Wegen der Beibehaltung des Funktionswertes muss gelten:$$F(4,2;y)=F(4;1)\quad\big|\text{Einsetzen in die Funktionsgleichung}$$$$12y^2+12,6y+176,4=184\quad\big|-184$$$$12y^2+\frac{63}{5}\,y-\frac{38}{5}=0\quad\big|\div12$$$$y^2+\frac{21}{20}\,y-\frac{19}{30}=0\quad\big|\text{pq-Formel}$$$$y_{1;2}=-\frac{21}{40}\pm\sqrt{\left(\frac{21}{40}\right)^2+\frac{19}{30}}$$Wegen \(y\ge0\) kommt nur das positive Vorzeichen der Wurzel in Betracht:$$y=-\frac{21}{40}+\sqrt{\frac{4363}{4800}}=-\frac{21}{40}+\sqrt{\frac{13089}{14400}}=-\frac{63}{120}+\frac{\sqrt{13089}}{120}=\frac{\sqrt{13089}-63}{120}$$

Von diesem neuen \(y\)-Wert müssen wir noch den alten \(y\)-Wert \(1\) subtrahieren, um die gesuchte Änderung zu erhalten:$$\pink{\Delta y=\frac{\sqrt{13089}-183}{120}}\approx-0,5716069366\ldots$$

Da nach der "exakten" Veränderung gefragt ist und die Wurzel irrational ist, musst du vermutlich den Bruch mit der Wurzel als Lösung angeben.

Answer 2

f(x, y) = 10·x^2 + 3·x·y + 12·y^2

f(4, 1) = 10·4^2 + 3·4·1 + 12·1^2 = 184

f(4.2, 1 + d) = 10·4.2^2 + 3·4.2·(1 + d) + 12·(1 + d)^2 = 184 --> d = - 0.5716