Zeige, dass f:[a,b] nach R Riemann integrierbar impliziert, dass f:(a,b] uneigentlich integrierbar ist

Question

meine idee :

$$\int _{ a }^{ b }{ f(x)\quad dx } ,\quad soll\quad Riemann\quad integrierbar\quad sein,\quad sodass\quad gilt\quad :\quad \\ \\ \\ \int _{ a }^{ b }{ f(x)\quad dx } =\quad \lim _{ z\rightarrow a }{ \int _{ z }^{ b }{ f(x)\quad dx } } \quad mit\quad z\quad \epsilon \quad [a,b]\quad ,weiter\quad gilt\quad dann\quad ja\quad \\ \\ =\lim _{ z\rightarrow a }{ |F(b)-F(z)|\quad =\quad |F(b)-F(a)|\quad ,\quad und\quad damit\quad wäre\quad das\quad doch\quad gezeigt\quad oder\quad ? }$$