Riemann Integrierbarkeit prüfen und Integral bestimmen

Question

Aufgabe:

Begründe, ob die folgende Funktion Riemann-integrierbar auf dem angegebenen Intervall ist und berechne in diesem Fall das Integral.

b(x) = \( \frac{x+|x|}{2} \) , [-2,4]

Ich würde zuerst die Funktion auf Stetigkeit überprüfen, allerdings stehe ich da grad auf dem Schlauch und komme nicht weiter :/ Wie löse ich das am besten?

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion können durch Fallunterscheidung umschreiben:$$b(x)=\left\{\begin{array}{rcl}x &\text{für}& x\in[0|4]\\0 &\text{für}& x\in[-2|0[\end{array}\right.$$Als Polynom sind beide Teilfunktionen stetig. Am Übergangspunkt \(x=0\) sind links- und rechtsseiger Grenzwert identisch:$$\lim\limits_{x\nearrow0}b(x)=\lim\limits_{x\nearrow0}0=0\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow0}b(x)=\lim\limits_{x\searrow0}x=0$$Also ist die Funktion auch in \(x=0\) stetig. Als stetige Funktion ist die Funktion Riemann-integrierbar:$$I=\int\limits_{-2}^4b(x)dx=\int\limits_{-2}^00d\,x+\int\limits_0^4x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=\frac{4^2}{2}=8$$