Riemann-Integrierbarkeit zeigen und beweisen

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die Funktion f:[0;5]-->ℝ mit

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text { falls } x \text { rational } \\ 1, & \text { falls } x \text { irrational } \end{array}\right. \)
Riemann-integrierbar ist. Beweisen Sie Ihre Antwort mithilfe der Definition von Riemann-Integrierbarkeit.

Problem/Ansatz:

 \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) is genau dann Riemann integrierbar, wenn es Folgen \( \left(\varphi_{i}\right) \), \( \left(\psi_{i}\right) \) von Treppenfunktionen auf \( [a, b] \) gibt mit \( \varphi_{i} \leq f \leq \psi_{i} \) auf \( [a, b] \) und \( \int \limits_{a}^{b} \psi_{i} \mathrm{~d} x- \) \( \int \limits_{a}^{b} \varphi_{i} \mathrm{~d} x \rightarrow 0 \) bei \( i \rightarrow \infty \). Dann ist
\( \int \limits_{a}^{b} f \mathrm{~d} x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} \varphi_{i} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{i \rightarrow \infty} \int \limits_{a}^{b} \psi_{i} \mathrm{~d} x\)

Ich soll das erste mal die Riemann-Integrierbarkeit zeigen bzw. beweisen und weiß nicht, wie ich vorgehen soll bzw. wie mit dieser Definition die Aufgabe zu beweisen ist?

Comments

Ich soll das erste mal die Riemann-Integrierbarkeit zeigen bzw. beweisen

Nein. Du sollst deine Antwort auf die Frage,

ob f Riemann-integrierbar ist, beweisen. Tipp:

f dürfte wohl eher nicht R-integrierbar sein,

"weil man z.B. die oberen Treppenfunktionen nicht kleinkriegt".

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Danke - da hatte ich wohl ein Verständnisproblem.

Answer 1

Treppenfunktionen auf [0,5] sind auf ihren Teilintervallen konstant.

Jedes Teilintervall enthält aber eine irrationale Zahl, also hat die Treppenfunktion,

wenn \( f \leq \psi_{i} \) gilt mindestens überall den Wert 1, somit \( \int \limits_{0}^{5} \psi_{i} \ge 5 \)

andererseits enthält jedes Teilintervall auch rationale Zahlen und damit ist die

untere Treppenfunktion immer kleiner oder gleich g(x)=x. Und damit

\( \int \limits_{0}^{5} \varphi_{i} \mathrm{~d} x  \le2,5\).

Die Differenz kann also nicht gegen 0 gehen.

Comments

Dank dir für deine ausführliche Antwort - hat mir, glaub ich, fürs Verständnis sehr geholfen.

Nachdem die Differenz von  \( \int \limits_{0}^{5} \psi_{i} \) - \( \int \limits_{0}^{5} \varphi_{i} \mathrm{~d} x\) bei i→∞ nicht gegen Null geht, ist die Funktion also nicht Riemann integrierbar?