Woher weiß ich nun, dass -2 eine doppelte Nullstellen ist und somit Parabelförmig Auftritt?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich ganzrationalen Funktionen: ich habe versucht bei X³-12x-16 die Nullstellen herauszufinden. Wenn ich jetzt mit der Nullstellen 4 eine Polynomdivision durchführe entsteht folgender Term

x³-12x-16:(x-4)=x²+4x+4

Wenn ich diesen nun durch die quadratische lösungsformel auflöse, kommt die Nullstellen -2 nur einmal vor.

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2}=\frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2}= \\ =-2  \)

Woher weiß ich nun, dass -2 eine doppelte Nullstellen ist und somit Parabelförmig Auftritt?

Es wäre sehr freundlich, wenn mir wer da helfen könnte.

Answer 1

... eine doppelte Nullstellen ist und somit Parabelförmig Auftritt?

Die Nullstelle "tritt nicht parabelförmig auf".

Merken, dass es eine doppelte Nullstelle ist, kann man z.B. weil die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null ist.

Answer 2

x^2+4x+4 = (x+2)^2 = (x+2)(x+2), 1. binom. Formel

Satz vom Nullprodukt liefert 2-mal x= -2

x= -2 ist Nullstelle mit waagrechter Tangente.

Answer 3

\(x^2+4x+4=0\)

\(x^2+4x=-4\)

\((x+ \frac{4}{2})^2=-4+(\frac{4}{2})^2 \)

\((x+ 2)^2=-4+(2)^2 \)

\((x+ 2)^2=0  |\sqrt{~~} \)

1.)\(x+ 2=\sqrt{0}=0 \)

\(x_1=-2\)

2.)\(x+ 2=\sqrt{0}=-0 \)

\(x_2=-2\)

Somit ist dort eine doppelte Nullstelle.

Comments

Sei gegrüßt, Retter und Rächer der fast enterbten quadratischen Ergänzung!

Die 1. BiFo ist hier offensichtlich.

Dennoch hat auch die Beinah-Enterbte ein Recht auf ihren Pflichtteil. :))

Bin gespannt, was hj zur -0 sagt.

+0 auf dem Konto klingt angehnemer als -0.

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Ich mag die p,q Formel gar nicht, darum ziehe ich die quadratische Ergänzung vor.

Bei einer anderen quadratischen Parabel führt die Nullstellensuche auch auf z.B. \(x_2=-5\)

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Ich mag die p,q Formel gar nicht

Sie doch angenehmer als die abc-Formel und eine Allzweckwaffe geworden,

soweit ich sehe.

Was stört dich an ihr am meisten?

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Den Fragegestellenden muss bei der p,q Formel immer der Hintergrund abrufbar sei, wie diese entstanden ist, damit die Fragegestellenden zur eigenen Sicherheit auch auf die quadratische Ergänzung zurückgreifen können. Das sehe ich bei vielen nicht mehr gegeben.

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Auch noch eine Möglichkeit, eine doppelte Nullstelle zu finden,(falls vorhanden):

\(f(x)=x^3-12x-16\)

\(f'(x)=3x^2-12\)

\(3x^2-12=0\)

\(x^2-4=0\)

\(x^2=4\)

\(x_1=2\)→ \(f(2)=2^3-12\cdot2-16=8-24-16=-32\)  keine Nullstelle

\(x_2=-2\)→    \(f(-2)=(-2)^3-12\cdot(-2)-16=-8+24-16=0\) doppelte Nullstelle

Polynomdivision  \((x^3-12x-16):(x^2+4x+4)=x-4\) ergibt dritte Nullstelle bei \(x=4\)

Answer 4

Ein Polynom p hat eine mehrfache Nullstelle bei x=a,
wenn auch p'(a)=0 ist.