Supremum Infimum Beweis: Woher weiß ich, dass n>1/2*epsilon wahr ist und somit Supremum 1/2 ist?

Question

Woher weiß ich zum Schluss, dass n>1/2*epsilon wahr ist und somit das Supremum 1/2 ist?

Das mit dem Archimedes-Prinzip ist mir nicht klar.

Answer 1

Das Archimedische Axiom besagt umgangssprachlich

unter anderem:    Es gibt

beliebig große nat. Zahlen. Genauer:

Zu je zwei verschiedenen pos. reellen 

Zahlen   x < y  gibt es eine nat. Zahl  n

mit n*x > y

Also insbesondere wenn du  x = 1 und y= 1/ (2eps)

wählst dann gibt es ein n mit   n*1 > 1/ (2eps)

Denn  die ganze Sache ist ja eh nur interessant für

kleine pos. eps also kannst du annehmen, dass 

  1/ (2eps)    > 1  ist.

Comments

Okay danke!

Also kann ich dieses Axiom bei allen Überprüfungen anwenden?

Beispiel wenn ich jetzt M={5+1/n | neN}

Weil hierbei komm ich dann auch auf

n<2/2-Epsilon

---

und dann kannst du schreiben:

Nach dem Ax. des Archimedes gibt es aber nat. Zahlen

die größer als  2/2-Epsilon  sind.