Beweisen Sie Die Untergruppe von S4

Question

Die Aufgabe zur Untergruppe lautet: 

Answer 1

Es ist σ⁴ = id . Also besteht die Untergruppe aus   { σ  ;  σ² ;  σ³ ;  σ⁴ }

und es ist  σ^4n+k  = σ^k     für n aus Z und k aus  { 0 .. 3 } 

σ¹⁸⁰² = σ¹⁸⁰⁰⁺²= σ²
  

Comments

wie bestimme ich dass die eine Untergruppe ist?

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Berechne dir die Potenzen von σ und du wirst sehen  σ⁴ = id.

Die von σ erzeugte Untergruppe besteht aber aus den Potenzen

von σ.   Wegen  σ⁴ = id  ist  σ⁵ =  σ  etc.

Also gibt es als verschiedene Elemente nur die Potenzen

mit den Hochzahlen von 1 bis 4 .

Wenn du die miteinander multiplizierst erhältst du immer

wieder eine solche. das neutrale El.  σ⁴ = id gehört dazu

und zu jedem ein inverses nämlich 

zu  σ  ist  es σ³    und zu  σ²  ist es  σ²     etc.