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Aufgabe:

Wie lässt sich zeigen, dass die Kleinsche Gruppe eine Untergruppe von S4 ist?


Problem/Ansatz:

Untergruppenkriterium

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Die Kleinsche Vierergruppe ist

V4={id,  (1  2)(3  4),  (1  3)(2  4),  (1  4)(2  3)}S4V_4=\{id,\; (1\;2)(3\;4),\; (1\; 3)(2\;4),\;(1\;4)(2\;3)\}\subseteq S_4.

Wegen idV4id\in V_4 ist V4V_4\neq \emptyset.

Nun musst du nur noch zeigen, dass σ,τV4στ1V4\sigma,\tau\in V_4\Rightarrow \sigma\circ \tau^{-1}\in V_4 gilt.

Dabei ist nützlich: σVσ2=id\sigma \in V\Rightarrow \sigma^2=id.

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Wie lässt sich eine Permutation umkehren?

Für einen k-Zykel gilt (i1  i2  ik)1=(ik    i2  i1)(i_1\;i_2\;\cdots i_k)^{-1}=(i_k\;\cdots\; i_2\; i_1).

Ziffernfremde Zykel sind vertauschbar.

Kann man dies für beliebige zwei Zykel zeigen also:

(12)(34) • (31)(42) = (14)(23)

Da σ2=id\sigma^2=id ist für alle σV4\sigma \in V_4 ist,

gilt σ1=σ\sigma^{-1}=\sigma für alle σV4\sigma \in V_4.

Du musst also nur zeigen, dass σ,τV4στV4\sigma,\tau\in V_4\Rightarrow \sigma\tau \in V_4

gilt. Da \(V_4\() offenbar kommutativ ist, kannst

du die wenigen Elemente von V4V_4 mit einander multiplizieren,

um zu testen, ab die Produkte wieder in V4V_4  liegen.

D.h. also immer je zwei multiplizieren und schauen ob das Produkt wieder drin liegt für alle möglichen Paare?

Ja. Das sind 3 Produkte. Das sollte zu schaffen sein ;-)

Wie lässt sich nun noch zeigen, dass V4 Normalteiler von S4 ist?

Kann man hier wieder die kommutative Eigenschaft nutzen und wieder alles miteinander multiplizieren?(was ist x, was ist k?)

Es gilt für alle x ∈ G und k ∈ K gilt:

x k x^(-1) ∈ K

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