Wie schreibe ich die Elemente einer Untergruppe der Gruppe (S4,◊) auf?

Question

Hallo :)

Ich verstehe folgende Aufgabe leider nicht so wirklich und hoffe dass mir einer erklären kann wie es funktioniert.

Und zwar habe ich eine Untergruppe

der Gruppe (S₄,◊), also der symmetrischen Gruppe gegeben, wobei ◊ eine Verknüpfung darstellt. Die Notation mit den leicht eckigen Klammern bedeutet, dass diese beiden Elemente eine erzeugte Untergruppe von S₄ sind (Soweit ich das verstanden habe).

Jetzt soll ich alle Elemente von U aufschreiben.

Wie gehe ich da vor? Also ich habe mir gedacht, dass ich die beiden Elemente miteinander Verknüpfen kann, also

Das sind aber leider die einzigen beiden "neuen" Elemente, die ich finden kann. Angenommen das erste Element von U sei x und das zweite Element von U sei y. Dann ergeben bei mir x◊x und y◊y bzw. x◊y und y◊x jeweils das selbe. Wie kann ich noch weitere Elemente finden? Nur zwei Stück werden es ja bestimmt nicht sein :)

Vielen Dank schonmal :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Schreiben Sie alle Elemente von U auf

Stichworte: gruppe,untergruppe,elemente

Wir betrachten die Untergruppe  der Gruppe (S₄,*). Schreiben Sie alle Elemente von U auf.

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Schau mal dort

https://www.mathelounge.de/283976/wie-schreibe-ich-die-elemente-einer-untergruppe-auf

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Vom Duplikat:

Titel: Wir betrachten die Untergruppe U der Gruppe (S4, ◦). Schreiben Sie alle Elemente von U auf.

Stichworte: untergruppe,elemente

Hallo ihr Lieben. Ich bräuchte eure Hilfe. Ich weiß leider echt nicht wie ich bei dieser Aufgabe weiter kommen soll? Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe!

Answer 1

Du musst das auch noch ausrechnen

x◊y heißt ja x nach y also etwa für

die 1, die wird durch y auf 4 und diese

4 durch x auf 3 abgebildet.

Also in dem Ergebnis der

Verknüpfung 1 auf 3

etc. gibt dann :

x◊y =  1  2   3  4 

           3 4   1   2

und auf diese Weise erhältst du mit den

von dir genannten Fällen weitere

Elemente von (S₄,◊).

Sicherlich entsteht dabei auch die

identische Permutation   id =

  1  2   3  4 

  1  2   3  4 

denn sonst wäre die

Untergruppe ja keine Gruppe.

Außerdem muss es zu jedem

Element z ein Inverses geben, also

eines , das mit z verknüpft id ergibt.

Comments

Also ich habe dann

x = 1 2 3 4

      2 1 4 3

y = 1 2 3 4

      4 3 2 1

=> x◊x = 1 2 3 4

              1 2 3 4   = y◊y = id

und

x◊y = 1 2 3 4

          3 4 1 2 = y◊x

Das sind die Verknüpfungen, die ich gefunden habe. Nehme ich bspw. x◊y◊x = x◊x◊y = e◊y = y , wobei e das neutrale Element ist, so erhalte ich wieder Elemente aus x,y,x◊y oder id, usw... . Gibt es hierbei noch mehrere Varianten? Weil ich kann keine mehr finden :)

Wie ist das mit dem Inversen gemeint? Also x◊x^-1 ergibt die Identität, das ist mir klar, aber wie kann ich das auf diesen Kontext anwenden. Weil mein x^-1 wäre ja zum Beispiel x. :)

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wenn du das x◊y mal z nennst, kannst du in Form einer

Tafel erkennen, ob alles passt.  Etwa so 

                     id         x         y            z
-------------------------------------------------

id   |          id         x         y            z
x     |          x         id        z            y
y     |          y         z          id          x
z     |          z         y           x          id

Habe ich nicht alle nachgerechnet, scheint aber

zu stimmen. Und weil keine neuen Elemente

mehr auftauchen ist das die von x und y

erzeugte Untergruppe.

Die Inversen sind in diesem Fall immer

die Elemente selbst.

 

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Okay danke :D
Dann sollte ich alles verstanden haben

Mehr muss man bei dieser Aufgabe dann nicht zeigen oder?

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Mehr ist doch  nicht gefordert.

Answer 2

Ohne Gewähr, da ich ein Kommilitone bin ^_^

Man kann hier wenig Erklären. Schaue dir einfach an, welche Formen angenommen werden können, wenn du auf die vorgegebenen Elemente die Rotationen unterschiedlich oft und in verschiedener Reihenfolge anwendest.

$$ U = \{ \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}\} $$

Hoffe, es ist nicht zu spät.