Untergruppe, Elemente, Gruppe

Question

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Aufgabe 2
a) Seien \( \cdot: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) die gewöhnliche Multiplikation auf \( \mathbb{Q} \) und \( \mathbb{Q}^{*}=\mathbb{Q} \backslash\{0\} \) sowie \( U:=\left\{2^{k}: k \in \mathbb{Z}\right\} \subset \mathbb{Q}^{*} \).
Zeigen Sie, dass \( (U, \cdot) \) eine Untergruppe von \( \left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right) \) ist.
b) Bestimmen Sie vier Elemente aus \( U \).

Answer 1

a) U ist abgeschlossen, weil (2 hoch x )*(2 hoch y)=2 hoch (x+y) also Ergebnis wieder in U.

Neutrales Element 1=2 hoch 0

Ist auch in U, und zu jedem 2 hoch x auch das Inverse 2 hoch -x.

b) z.B. 1,2,4,8