Rechenregeln und Untergruppe in einer Gruppe beweisen

Question

Sei (G,*) eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Für alle a aus G sind die Potenzen von a induktiv erklärt durch: a⁰ := e

aⁿ := a * a^n-1

a^-n := (a^-1)ⁿ  mit n ∈ ℕ\{0}

(a) Beweise die Rechenregel aⁿ * a^m  = a^n+m für alle n,m aus ℤ mit Fallunterscheidung.

(b) Zeige: <a> := {aⁱ | i ∈ ℤ} ist eine abelsche Untergruppe von G. Sie wird die von a erzeugte zyklische Untergruppe von G genannt.So habe ich Aufgabe a gelöst (siehe Bild). Kann mir bitte jemand sagen ob das so stimmt, ob ich alle Fälle dabei habe.Falls jemand eine Idee hat, wie man das mit weniger Fällen lösen kann wäre ich darüber sehr dankbar.zu Aufgabe b habe ich keine Idee, wie ich das zeigen soll.

Comments

Mir ist das Bild leider zu dunkel.

Du solltest aber bei einem Beweis irgendwie noch die Rechengesetze angeben, die du benutzt,

wenn du anders klammerst z.B. das Assoziativgesetz.

Bei b) kannst du (a) nutzen, um "abelsch" zu zeigen, d.h. zu zeigen, dass a^{i} * a^{k} = a^{k} * a^{i}