Beweis einer Gruppe und Untergruppe

Question

Hallo zusammen,

wir haben folgende Aufgabenstellung erhalten:

Es sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊂ G. (U, ◦) heißt Untergruppe von G, falls es ebenfalls eine Gruppe ist.

(a) Zeigen Sie: (U,◦) ist eine Untergruppe von (G,◦) ⇔ U̸ = ∅ und für a,b ∈ U gilt a ◦ b − 1 ∈ U.

(b) Es sei A eine Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass a ∼ b :⇔ a◦b−1 ∈ A eine Äquivalenzrelation
definiert.

Habe hier Schwierigkeiten einen Ansatz zu finden. Ich würde mich total über eine Lösung mit Lösungsweg freuen. Vielen lieben Dank im Voraus!

Answer 1

Zeigen Sie:

(U,◦) ist eine Untergruppe von (G,◦) ⇔ U ≠ ∅ und für a,b ∈ U gilt a ◦ b ^{− 1} ∈ U.

"==>"  Wenn  (U,◦) eine Untergruppe ist, enthält es das neutrale Element e,

ist also nicht leer. Außerdem gibt es zu jedem b auch ein b^-1 in U und

wegen der Abgeschlossenheit gilt  für alle a,b ∈ U auch   a ◦ b ^{− 1} ∈ U.

"<=="  Gilt U ≠ ∅ und für a,b ∈ U gilt a ◦ b ^{− 1} ∈ U, dann gibt es jedenfalls ein x∈U

und für dieses x gilt  x ◦ x ^{− 1} ∈ U, also  e ∈ U.

Dann gilt für jedes x∈U auch  e ◦ x ^{− 1} ∈ U also zu jedem x auch das Inverse in U.

Außerdem gilt Assoziativität in G also auch in der Teilmenge U

also nach Vor  a ◦ (b ^{− 1}) ^-1  = a ◦ b ∈ U,

Comments

Vielen lieben Dank!