kommutative Gruppe - Untergruppe Beweis

Question

Es sei G=(G,e,°) eine kommutative Gruppe und es sei a ∈ G.

Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Menge

Square := {g°g|g∈G} eine Untergruppe von G ist.


Kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu lösen?

Entweder ist die Aufgabe völlig trivial oder ich habe einen Denkfehler.

Comments

Völlig trivial würd ich nicht sagen, aber es ist banales nachrechnen der Eigenschaften

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leider fällt es mir manchmal schwer die Eigenschaften in einer rein mathematischen schreibweise zu zeigen.


es wäre echt super, wenn ich für diese aufgabe einen kompletten lösungsweg hätte.

Answer 1

Man kann das mittels Untergruppenkriterium zeigen, oder so: Die Abb. $$f:G \to G, \quad x \mapsto x^2$$ ist ein Homomorphismus, da f(xy)=(xy)²=x²y²=f(x)f(y), hier spielt also die Kommutivität von G rein. Square ist das Bild dieses Hom's und als solches eine Untergruppe.