Mengen als Untergruppe der gegeben Gruppe

Question

Hallo, ich habe in einer Aufgabensammlung diese Aufgabe gefunden, jedoch keine Lösung dazu.

Kann mir jemand helfen, welche dieser Mengen eine Untergruppe der gegebenen Gruppe sind.

1. Die Menge der geraden ganzen Zahlen als Teilmenge von Z mit der Verknüpfung +.
2. Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen als Teilmenge von Z mit der Verknüpfung +.
3. Die Menge der positiven reellen Zahlen als Teilmenge von R\{0} mit der Multiplikation von reellen Zahlen als Verknüpfung.
4. Die Menge der negativen reellen Zahlen als Teilmenge von R\{0} mit der Multiplikation von reellen Zahlen als Verknüpfung.
5. Die Menge der n × n Matrizen mit Determinante 1 als Teilmenge der Invertierbaren n × n-Matrizen mit dem Matrixprodukt als Verknüpfung.
6. Die Menge der n × n Matrizen mit Determinante 1 als Teilmenge der aller n × n- Matrizen mit dem Matrixaddition als Verknüpfung.

Comments

Ich habe folgende Antwort:

1. ja

2. ja

3. nein

4. ja

5. nein

6. ja

kann jemand nachschauen, ob es stimmt? Ich bin mir nämlich unsicher

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Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen bildet keine Untergruppe, denn die Summe zweier ungerader Zahlen ist stets gerade.

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Stimmt. Können Sie mir sagen, ob der Rest stimmt?

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3. und 5. sind Untergruppen. 4. und 6. nicht.
Bei 4. ähnliches Argument wie bei 2: Das Produkt zweier negativer Zahlen ist stets positiv.