Zeige, dass zyklische Gruppe Untergruppe ist

Question

$$\text{Sei }(G,\circ )\text{ eine Gruppe und }g \in G.$$

$$\text{Zeige, dass }\left \langle g \right \rangle = \left \{ g^{n}: n \in \mathbb{Z} \right \} \text{ eine Untergruppe von } G \text{ bildet.}$$

Ich soll zeigen, dass eine beliebige Zyklische Gruppe vom Erzeuger g eine Untergruppe von G ist, wenn g in G enthalten ist.

Ich habe bis jetzt zyklische Gruppen nur im Zusammenhang mit der Addition Modulo Operation verwendet, zB:

$$\mathbb{Z}_{6}$$

Dann wäre es auch klar, dass die Zyklischen Gruppen von {(0), 1,2,3,4,5,} eine Untergruppe von Z(6) sind, aber in diesem Beispiel steht nirgendends, welche Operation die Gruppe hat. So ist die Zyklische Gruppe ja sogar unendlich, wenn man gⁿ nimmt und mit beliebigen Operationen verknüpft, ohne Modulo, oder?

Deswegen verstehe ich nicht wie es ohne der Additions Modulo Operation hier gehen soll...

Comments

Du hast nur die Verknüpfung $\circ$ auf der Gruppe definiert; eine andere Verknüpfung gibt es nicht.

$g^n$ ist definiert als $\underbrace{g \circ\ ...\ \circ g}_{n- \text{mal}}$, also z.B. $g^3=g\circ g\circ g$.

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Aber wenn n ∈ ℤ dann geht das ja unendlich, oder? Alle Untergruppendefinitionen gehen davon aus, dass wir eine Teilmenge von G haben als Untergruppe, die dann bestimmte Eigenschaften erfüllt.

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Ich sehe gerade, dass ich oben noch etwas vergessen habe: Die obige Definition gilt nur für $n\geq 1$. Für $n=0$ ist $g^0:=e$ (das Einselement der Gruppe) und für $n<0$ ist $g^n:=(g^{-n})^{-1}$.

Was "geht unendlich"? Die Menge $\langle g\rangle$ kann endlich oder unendlich sein. Du musst jetzt für $\langle g\rangle$ die Untergruppenkriterien nachweisen, die ihr hattet.

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Das gⁿ kann unendlich lang sein, wenn n beliebig ist. Deswegen verstehe ich nicht wie <g> eine Teilmenge von G sein kann.

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Die Verknüpfung $\circ$ bildet doch per Definition in die Gruppe $G$ ab. D.h. für alle $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$.
Insbesondere ist also $g^n\in G$ für alle $n\in\mathbb{Z}$.

In welcher Menge sollten die $g^n$ denn sonst liegen, wenn nicht in $G$?

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Also reicht es mit der Information einfach die Gruppeneigenschaften von der zyklischen Gruppe zu beweisen, Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutral, Invers und Kommutativ?

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Ja (wobei die Assoziativität und Kommutatiität klar sind, die übertragen sich direkt von der größeren Gruppe).

Vielleicht hattet ihr schon ein Untergruppenkriterium, das besagt:
Sei $M\subseteq G$. Wenn die beiden Eigenschaften erfüllt sind:
$M\neq \emptyset$ und $a\circ b^{-1}\in M$ für alle $a,b\in M$,
dann ist $M$ eine Untergruppe von $G$.

(man kann also das Überprüfen der Abgeschlossenheit und Existenz der Inversen in einer Bedingung zusammenfassen).

Answer 1

es spielt überhaupt keine Rolle was für eine Operation/Menge das genau ist. Wichtig ist nur:

Du hast eine Gruppe mit einer Operation $(G, \circ)$ gegeben und untersuchst eine Menge, ob sie bezüglich dieser Gruppenoperation eine Untergruppe ist. Alles was du hier machen musst sind nur die Eigenschaften einer Untergruppe nachzuschlagen und hier zu überprüfen. Dann wirst du sehen wie banal das ganze eigentlich ist.

Gruß

Comments

Die meisten Untergruppendefinitionen gehen davon aus, dass die Untergruppe eine Teilmenge von G ist, die selbst eine Gruppe ist. Ich könnte beweisen, dass die Untergruppe eine Gruppe ist, aber wie soll die Untergruppe eine Teilmenge von G sein, wenn die Verknüpfung mit beliebiger Anzahl (n) gemacht werden kann?

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Naja aus $g \circ g \in G$ und $g^{-1} \circ G$ folgt ja induktiv, dass $g^n \in G \quad \forall n \in \mathbb{Z}$, wobei $g^0 := e_G$ ist.

<g> kann aber muss nicht unendlich sein, hängt alles von der Ordnung von G ab.