Zeigen Sie es gibt eine normal zyklische Untergruppe mit Index 3, auflösbar?

Question

Aufgabe: Sei G Gruppe mit der Mächtigkeit von 195

a) Zeigen Sie es gibt eine normal zyklische Untergruppe mit Index 3

b) Ist G auflösbar?

Problem/Ansatz:

Zu a weiß ich dass die UG die Normalteilereigenschaft, und zyklisch (von einem Element erzeugt) sein muss, was aber bedeutet von Index 3 ?

Zu b haben wir auflösbar definiert als: G heißt auflösbar, wenn es n∈ℕ gibt mit G⁽ⁿ⁾ ={e}

Ich denke wir benötigen auch dieses Korollar: Sei G Gruppe. Für N Normalteiler von G gilt: G ist auflösbar⇔N und G/N beide auflösbar sind.

Ich bin mir aber nicht sicher. Ich habe leider keine Idee da ich außer der Mächtigkeit nichts über G weiß.

Bin für jeden Tipp dankbar

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Index_(Gruppentheorie)

da die Gruppen hier alle endlich sind heißt das also indirekt auch, dass deine UG 195/3=65 Elemente haben muss.

Vielleicht hilft dir das schon weiter? Habt ihr schon die Sylowsätze behandelt?

Answer 1

Zu a)

Zeige, dass es genau eine 13-Sylowuntergruppe \(U_{13}\) in \(G\) giibt,

die wegen ihrer Einzigkeit dann ein Normalteiler ist.

Zeige, dass es genau eine 5-Sylowuntergruppe \(U_5\) in \(G\) gibt,

die dann ebenfalls ein Normalteiler ist.

Dann ist \(H:= U_{13}U_5\) eine Untergruppe von \(G\) mit

65 Elementen, hat also den Index 195/(5*13)=3.

Nun ist \(H\) eine Gruppe mit \(pq=13*5\) Elementen.

Nun mach dich kundig, was du über das Abelschsein einer

solchen Gruppe weißt.