Rechenregel Ordnung von Untergruppen

Question

Hi habe Schwierigkeiten beim Beweis folgender Aufgabe.

Es sei G eine Gruppe und A, B ≤ G. Weiterhin sei, AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Zeige, dass

|AB|*|A∩B| = |A|*|B|

Answer 1

Es gibt jedenfalls |A|*|B| Paare  (a;b) aus A x B.

Wenn man jetzt jedem Paar aus A x B sein Produkt ab zuordnet, erhält man alle

Elemente von AB. Allerdings kommen einige dabei mehrfach vor, nämlich wenn

(a,b) und (c,d) zwei verschiedene Paare sind, bei denen ab = cd  ist.

Dann kann man diese Gleichung von links mit c^-1 multiplizieren. Das gibt es, weil c aus der

Gruppe G ist.     Man erhält    c^-1 a b = d und dann von rechts mit b^-1 gibt

                                                  c^-1 a  = d b^-1

Nun ist aber     c^-1 a  aus A, da a und c beide aus A sind.  Aus dem entsprechenden

Grund ist d b^-1 aus B  .  Also sind beide Produkte aus dem Durchschnitt.  Also wirden so

viel verschiedenen Paaren das gleiche Produkt zugeordnet, wie es Elemente

im Durchschnitt von A und B gibt.  Also ist | AxB | /   | A∩B| = |AB| . 

Das ist die Beh.