Aussagen zu Untergruppen zeigen

Question

Sei H ⊂ G eine Untegruppe.

Man zeige, dass folgende Aussagen
äquivalent sind:

(a) Für alle g ∈G gilt Hg = gH.
(b) Für alle g ∈G gilt g^(−1)Hg = H.
(c) Für alle g ∈G gilt g−1Hg ⊂H.
(d) Für alle g1, g2 ∈G gilt g1g2 ∈H genau dann, wenn g2g1 ∈H

Ich habe schon den Beweis für (a) → (b) und zwar,

Mit gH = Hg gilt auch gHg^(−1) = (Hg)g^(−1) = H ·e = H

und der Beweis für (b) → (c) ist trivial,

mir fehlt jetzt noch der Beweisschriit (c)--> (d) und (d)--> (a) und irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

(c) => (d)

Seien \(g_1,g_2\in G\) beliebig und \(g_1g_2\in H\).

Nach Voraussetzung (c) gilt insbesondere \(g_1^{-1}Hg_1\subset H\), d.h. \(g_1^{-1} (g_1g_2) g_1\in H\).

Wegen \(g_1^{-1}(g_1g_2)g_1 = (g_1^{-1}g_1)(g_2g_1) = e(g_2g_1)=g_2g_1\) folgt entsprechend die Behauptung.

(d) => (a)

Sei \(g\in G\) beliebig.

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Angenommen \(x\in Hg\). Genau dann ex. ein \(h\in H\) mit \(x=hg\).

Es gilt \(h=eh = (gg^{-1})h = g(g^{-1}h)\) und mit (d) folgt \((g^{-1}h)g\in H\).
Setzen wir \(h'=g^{-1}hg\) folgt \(gh'=g(g^{-1}hg) = (gg^{-1})hg = ehg = hg = x\) und damit \(x\in gH\).

Anmerkung (Erklärung des Beweisprozesses): Wir wollten zeigen, dass es ein \(h'\in H\) mit \(x=gh'\) gibt. Da wir wissen, dass \(x=hg\) müssen wir das \(h'\) geeignet in Abhängigkeit von \(h\) wählen. Wir erhalten also \(h'=g^{-1}hg\) und der Beweis dreht sich hauptsächlich darum, zu beweisen, dass \(h'\in H\).

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Angenommen \(x\in gH\). Genau dann ex. ein \(h\in H\) mit \(x=gh\).
Analog zu oben zeigen wir \(h'=ghg^{-1}\in H\).
Dann ist \(h'g = (ghg^{-1})g = gh(g^{-1}g) = ghe = gh = x\) und damit \(x\in Hg\).

Comments

Vielen lieben Dank!!