H1, H2 Untergruppen einer Gruppe G... Zeigen Sie, dass entweder H1 = G oder H2 =G ist

Question

Seien H₁, H₂ Untergruppen einer Gruppe G und sei G=H₁ ∪ H₂. Zeigen sie, dass entweder H₁ = G oder H₂ = G ist.

Answer 1

Angenommen es ist weder H₁ = G noch  H₂ = G   aber G=H₁ ∪ H_{2  .}

Dann heißt das ja:  Es ist weder H1 ⊆ H2 noch H2 ⊆ H1.

Dann  gibt es in G ( wegen G=H₁ ∪ H₂  )

ein a aus H1 und a nicht aus H2  und  

ein b aus H2 und b nicht aus H1.    

Dann ist ( sagen wir mal die Verknüpfung ist * )

x=a*b jedenfalls in G und wegen G=H₁ ∪ H₂  muss  also

gelten  x in H1 oder x in H2 .

1. Fall:    x in H1   . 

Dann folgt aus   x =  a*b    durch Multiplikation von links

mit a^-1  ( existiert in H1, da H1 Untergruppe ) :

a^-1 * x  =  a^-1  * (a*b)  =  b  .

Und weil sowohl a^-1  als auch x in H1 sind, ist auch ihr Produkt

 - also b  -   in H1.  Im Widerspruch zur Annahme (s.o.) .

Entsprechend wird auch Fall 2   ( x in H2 ) zum Widerspruch

geführt.  Also ist die Annahme falsch und damit 

H1 ⊆ H2 oder  H2 ⊆ H1    und wegen  G=H₁ ∪ H₂ 

eine der beiden Untergruppen gleich G.