Aufgabe:
1) Sei (G, e, ·) eine Gruppe und seien H1, H2 ⊆ G Untergruppen von G.
(a) Beweisen Sie, dass H1 ∩ H2 eine Untergruppe von G ist.
(b) Sei G nun abelsch. Beweisen Sie, dass H1H2 := {h1 ·h2 | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} eine (abelsche)
Untergruppe von G ist.
2) Beweisen Sie:
(a) Ist X ⊆ Z eine Untergruppe, so gibt es ein l ∈ N0 mit X = Z ·l.
Hinweis: Falls X ⊋ {0}, wählen Sie l := min(X ∩ N).
(b) Für m, n ∈ Z ist X(m, n) := {an + bm | a, b ∈ Z} eine Untergruppe von Z, die sowohl
Z ·m als auch Z ·n enthält.
Sei nun p eine Primzahl und n ∈ Z \ Z ·p.
(c) Zeigen Sie, dass X(p, n) = Z.
Hinweis: Benutzen Sie (a) und (b), um ein l ∈ N0 mit X(p, n) = Z ·l zu finden. Folgern
Sie dann mit Hilfe von (b), dass l ein Teiler von p und n ist.
(d) Folgern Sie aus (c), dass a, b ∈ Z existieren mit ap + bn = 1.
Problem/Ansatz:
Hab bis dato noch keine Ahnung von Lineare Algebra, da ich viel krank war, muss diese aufgaben abgeben bis morgen, wäre lieb wenn mir jemand helfen könnte danke
