Zeigen Sie dass h1K = h2K genau dann wenn h1(H ∩ K) = h2(H ∩ K).

Question

Aufgabe:

Seien G eine Gruppe und H ≤ G, K ≤ G zwei Untergruppen. Wir definieren die Teilmenge HK ⊆ G als HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}

Nun nehmen wir an, dass H und K endlich sind und wollen die Kardinalität von HK berechnen. Hier wird nicht angenommen, dass HK eine Untergruppe ist.

Seien h1, h2 ∈ H. Zeigen Sie dass h1K = h2K genau dann wenn h1(H ∩ K) = h2(H ∩ K).

Problem/Ansatz:

Ich hab leider absolut keine Ahnung…:(

Comments

zu früh abgeschickt

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Aber jetzt :

1. Zeige h1K = h2K ⇒ h1(H ∩ K) = h2(H ∩ K) :
Sei x∈h1(H ∩ K)  ⇒  ex. m ∈ H∩K mit x=h1m.
Wegen m∈K ex. aufgrund der Voraussetzung ein k∈K mit x=h2k und dieses k liegt wegen
k = h2^-1x = h2^-1h1m auch in H, weil m∈H und H Gruppe ist.
Analog h2(H ∩ K)⊆h1(H ∩ K) .

2. Zeige  h1(H ∩ K) = h2(H ∩ K)  ⇒  h1K = h2K :
Sei x ∈ h1K   ⇒  ex. k∈K mit x=h1k ⇒  x = h1ek = h2dk für ein gewisses d∈H∩K⊆K, weil e∈H∩K ist, und mit k'=dk∈K also x ∈ h2K.
Analog h2K ⊆ h1K.