Infimum und Supremum einer Menge bestimmen

Question

Aufgabe:

Supremum und Infimum der folgenden Menge bestimmen.

$$\{- \frac{1}{2n} + n^3 + (-1)^n \cdot n^3|n \in \mathbb{N}\}$$

Ich hab diese Aufgabe in einer alten Klausur gefunden und intuitiv hätte ich eigentlich gedacht, dass diese Menge unbeschränkt sei, aber laut Aufgabe, soll es wohl wirklich ein Supremum und Infimum geben.

Gibt es irgendein Vorgehen, wie ich falls sie doch unbeschränkt ist, am besten zeigen kann, dass sie unbeschränkt ist und falls nicht, woran erkenne ich das und wie könnte ich hier das Infimum und Supremum herausfinden?

Answer 1

Aloha :)

Gibt es irgendein Vorgehen

Ja, vereinfache soweit wie möglich, aber nicht weiter. Das heißt, zerlege das Problem in kleine logische Schritte, wobei du jeden einzelnen Schritt nachvollziehen kannst.

In dem Ausdruck nervt der Faktor \((-1)^n\). Das Problem können wir mittels einer Fallunterscheidung auflösen:$$A(n)=\left(-\frac{1}{2n}+n^3+(-1)^n\cdot n^3\right)=\left\{\begin{array}{cl}2n^3-\frac{1}{2n} &\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]-\frac{1}{2n} & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Du erkennst nun sofort, dass$$A(n)>2n^3-1\to\infty\quad\text{für gerade \(n\)}$$$$A(n)=-\frac{1}{2n}\ge-\frac{1}{2\cdot1}=-\frac12\quad\text{für ungerade \(n\)}$$

Die Menge hat also ein Minimum bei \(A(1)=-\frac12\), aber kein Supremum oder Maximum.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort :)

Das hat mir sehr geholfen.

Answer 2

intuitiv hätte ich eigentlich gedacht, dass diese Menge unbeschränkt sei

Finde heraus, woran das liegt.

laut Aufgabe, soll es wohl wirklich ein Supremum und Infimum geben.

Es gibt ein Infimum aber kein Supremum.

Gibt es irgendein Vorgehen, wie ich falls sie doch unbeschränkt ist, am besten zeigen kann, dass sie unbeschränkt ist

Du solltest dein Augenmerk nicht darauf richten, den besten Weg zu finden. Es genügt, einen mathematisch korrekten Weg zu finden.