Riemann Integrierbarkeit und Integral berechnen

Question

Aufgabe:

Begründe, ob die folgende Funktion Riemann-integrierbar auf den angegebenen Intervallen ist und berechne in diesem Fall das Integral.

a(x) = sin(|x|),  [−π,\( \frac{π }{2} \) ]

Leider habe ich die Riemann Integrierbarkeit nicht richtig verstanden. Wie löse ich das am besten?

Answer 1

Die Funktion

        \(a(x) = \sin(|x|)\)

ist riemannintegrierbar, weil sie stetig ist.

Wegen

        \(|x|=\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}\)

und der Additivität von Integralen ist

        \(\int\limits_{-\pi}^\frac{\pi}{2}a(x)\mathrm{d}x = \int\limits_{-\pi}^0\sin(-x)\mathrm{d}x + \int\limits_{0}^\frac{\pi}{2}\sin(x)\mathrm{d}x \)

Leider habe ich die Riemann Integrierbarkeit nicht richtig verstanden.

Was genau hast du daran nicht verstanden?

Comments

Ist also jede Funktion riemann-integrierbar, wenn sie stetig ist?

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Ja, jede stetige Funktion ist riemann-integrierbar.