Hier ein Alternativbeweis für die, die sich ungerne mit den technischen Rechnungen rumschlagen. Ein Disclaimer: Die Musterlösung deiner Übung verlangt leider sehr wahrscheinlich genau das von dir. Sieh das hier doch als Motivation, mehr über komplexe Zahlen zu lernen!
Hast du eine komplexe Zahl \(z=a+bi\) gegeben, dann kannst du ihr eine Matrix \(C_z=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\) zuordnen.
Tatsächlich ist das eine "echte/treue" Darstellung der komplexen Zahlen im folgenden Sinne: Die Menge \(\{C_z|z\in\mathbb{C}\}\) zusammen mit komponentenweiser Addition und Matrixmultiplikation ist isomorph zum Körper der komplexen Zahlen. Der Isomorphismus ist genau durch diese Darstellung gegeben, sie verträgt sich also mit Addition und Multiplikation. Je nach Blickwinkel steckt da auch noch mehr hinter, man könnte sagen das SIND die komplexen Zahlen. Nicht nur algebraisch, auch geometrisch sieht diese Menge genau aus wie die komplexen Zahlen.
Fun Fact: \(C_i^2=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=C_{-1}\). Schön, wie die Dinge einfach funktionieren.
Fun Fact 2: Die Matrizen der Form \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\) sind genau die Drehstreckungen des \(\mathbb{R}^2\). Diesen Begriff schonmal im Kontext der komplexen Multiplikation gehört? Kein Zufall.
Die Norm der komplexen Zahlen ergibt sich in dieser Darstellung einfach aus den Determinanten, um genau zu sein:
Für alle \(z\in\mathbb{C}\) gilt: \(\sqrt{\det(C_z)}=\sqrt{a^2+b^2}=|z|\). Bemerke, dass die Determinante hier immer nichtnegativ ist, wir also Wurzelgesetze anwenden können.
Jetzt der eigentliche Beweis, der es wunderbar schafft, die eigentliche Rechenarbeit wegzuabstrahieren:
$$|z_1z_2|=\sqrt{\det(C_{z_1z_2})}=\sqrt{\det(C_{z_1}C_{z_2})} = \sqrt{\det(C_{z_1})\det(C_{z_2})} = \sqrt{\det(C_{z_1})}\sqrt{\det(C_{z_2})} = |z_1|\cdot|z_2|.$$
