Diophantische Gleichungen Lösungsmenge

Question

Aufgabe:

In einem Terrarium sind Insekten (6 Beine) und Spinnen (8 Beine). Die Tiere haben insgesamt 86
Beine. Welche Anzahlen an Tieren (Insekten und Spinnen) können es sein?
a) Bestimmen Sie mithilfe einer diophantischen Gleichung die Lösungsmenge im Bereich der ganzen
Zahlen.
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge im Bereich der natürlichen Zahlen und erläutern Sie, warum
nur diese Lösungen in dem Kontext sinnvoll sind.
c) Geben Sie die einzelnen Lösungspaare an.

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die Gleichung 6x • 8y = 86 aufgestellt. Ich schaffe es allerdings nicht ein mögliches Lösungspaar zu finden. Hat jemand einen Tipp dafür wie man schnell auf eine Idee kommt? Ich hatte überlegt entweder x oder y gleich 0 zu setzen, allerdings hilft mir das auch nicht weiter.

Die Lösungen sollen ganzzahlig sein.

Answer 1

Überleg dir erstmal die richtige Gleichung. Beispiel ein Insekt, eine Spinne im Terrarium gibt wieviele Beine?

Schreib auch auf: was ist x, was ist y?

Dann bist du ein großes Stück weiter und kannst durch Probieren Lösungen finden.

Answer 2

Ich habe zunächst die Gleichung 6x + 8y = 86 aufgestellt. Ich schaffe es allerdings nicht ein mögliches Lösungspaar zu finden. Hat jemand einen Tipp dafür wie man schnell auf eine Idee kommt?

Naja. Es würde natürlich gehen x oder y auf 0 zu setzen. Das Problem dabei ist dass 86 werder ganzzahlig durch 6 noch durch 8 teilbar ist.

Aber es sollte klar sein das 86 = 6 * 1 + 8 * 10 eine offensichtliche Lösung sein kann.

und das kgV von 6 und 8 ist 24. d.h. eine universelle lösung ist

86 = 6 * (1 + 4*k) + 8 * (10 - 3*k) für k ∈ {0, 1, 2, 3}

Answer 3

Ich habe zunächst die Gleichung 6x • 8y = 86 aufgestellt.

Es muss lauten:

6x+8y= 86

nach y umstellen:

y= (86-6x)/8

86-6x muss durch 8 teilbar sein. x kann sein: 1, 5, 9, 13