Lösungsmenge bei Gleichung mit mehreren Unbekannten

Question

ich soll die Lösungsmengen aus folgender Gleichung ermitteln:

z = (100x + y)/(10x + y)

Es gibt mehrere Lösungen. Ich bekomme die Gleichung ja nicht mal in die Normalform.

Bei einer anderen Aufgabe habe ich das gleiche Problem:

a = (69 - 6b)/(2b + 1)

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.

Ein hilfreicher Tipp wäre ein Traum!

EDIT: Nachtrag im Kommentar: Lösungsmenge? "Au ja, sorry.

in der ersten Gleichung sind x,y,z ganze Zahlen zwischen 1 und 9 und in der zweiten Gleichung ist a und b ein Element der ganzen Zahlen. "

Comments

> ich soll die Lösungsmengen aus folgender Gleichung ermitteln

Ist da irgendeine Form vorgeschrieben? Falls nicht, dann ist die Lösungsmenge einfach die Menge aller Abbildung f von {x,y,z} in den Definitionsbereich der Gleichung, die z auf (100f(x) + f(y))/(10f(x) + f(y)) abbilden.

> Ich bekomme die Gleichung ja nicht mal in die Normalform.

Welche Nomalform meinst du? Allgemein gibt es keine Normalform für Gleichungen.

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Au ja, sorry.

in der ersten Gleichung sind x,y,z ganze Zahlen zwischen 1 und 9 und in der zweiten Gleichung ist a und b ein Element der ganzen Zahlen.

EDIT(Lu): Habe das in der Fragestellung so ergänzt.

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Für  a = (69 - 6b)/(2b + 1)   ist das einfach:

du setzt rechts alle Zahlen von 1 bis 9 der Reihe nach ein und findest nur für b=4  

mit  a = 5  eine ganze Zahl a von 1 bis 9.

Lösungsmenge = { (5|4) }

Nachtrag: Hatte leider in deinen Kommentar " a,b ∈ ℤ " überlesen. Dann ist es natürlich doch nicht so einfach. 

Bei z = (100x + y)/(10x + y) wäre das viel Arbeit: Man müsste 9 * 9 = 81 Zahlenpaare für x und y einsetzen.

Das wäre dann eine Strafarbeit :-) 

Sonst fällt mir leider nichts ein. 

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Die Strafarbeit hat Excel schon für mich erledigt. Die Lösungen habe ich L={1,5,15|1,8,18|4,5,45}

Es handelt sich um die zweistelligen Zahlen bei denen man irgend eine einstellige Zahl multipliziert und das Ergebnis ist die zweistellige Zahl mit einer Null in der Mitte.

Die zweite Gleichung läuft irgendwann gegen -3, da ist die Zahl der Lösungen aufgrund der Voraussetzung mit den ganzen Zahlen auch nicht unendlich Lösungen. Das habe ich schon rausbekommen. Aber ich denke, dass es noch eine andere Lösung geben muss, außer ausprobieren.

Danke aber schon mal für die nächtlichen Gedanken. Vielleicht gibt's ja noch Ideen.

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"Es handelt sich um die zweistelligen Zahlen bei denen man irgend eine einstellige Zahl multipliziert und das Ergebnis ist die zweistellige Zahl mit einer Null in der Mitte."

Vielleicht: Zweistellige Zahlen, die mit einer einstelligen Zahl multipliziert eine dreistellige Zahl mit einer Null in der Mitte ergeben?

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zu der Gleichung habe ich mittlerweile die Lösung gefunden (69 - 6b)/(2b + 1)

Das Zauberwort heißt: Polynomdivision mit Rest.

Die andere Aufgabe stelle ich nochmal ein.

Answer 1

a = (69 - 6b)/(2b + 1)   =  -3*(2b-23) /  ( 2b+1)

Damit a eine ganze wird, muss  2b+1 ein Teiler von  -3*(2b-23)

-3 teilt es nur für b=0 und b= ±1 und b=-2

Das gibt schon mal 4 Lösungen.

( 2b - 23  ) : (2b+1)   = 1      -24 / (2b+1) 
2b  + 1 
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          -24

Damit das ganzzahlig ist muss    2b+1 ein Teiler von  ±24 sein.

Vielleicht hilft das schon was. Man muss wohl noch untersuchen, wie

es ist, wenn (2b+1) durch 3 teilbar ist, dann kann man ja kürzen.