Begründen Sie die Mächtigkeit der Lösungsmenge der Gleichung 6x +15y = 85 in Z^2 und Q^2

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

Die Gleichung 6x +15y = 85 hat keine Lösung in der Grundmenge Z² aller Paare ganzer Zahlen, aber unendlich viele Lösungen in Q²

Vorschlag:

6x + 15y = 85

x = (85 - 15y) / 6

Daraus ergibt sich mE, dass  6 ein Teiler von (85 - 15y) sein muss, damit sich eine ganze Zahl ergibt. alles andere würde ja einen Bruch ergeben. Nur wie schreibt man das auf?

Und für Q gilt nur, dass (85 + 15y) nicht 0 werden darf. Wobei das natürlich auch für Z gilt.

Kann jemand weiter helfen?

Answer 1

(85 - 15y)=5(17-3y) Die Frage ist also: "Gibt es eine ganze Zahl y, sodass17-3y durch 6 teilbar ist?" Das schreibt man so 17-3y≡0 mod 6 oder 17≡3y mod 6 oder 5≡3y mod 6.  Letzteres ist nicht möglich, weil rechts nur Viekfache von 3 stehen und 5 kein solches Vielfaches und zu keinem davon restgleich ist..

Comments

ok, da hab ich schon viel verstanden :-)

Aber wie kommst du von 17-3y=0 mod 6 zu den folgenden beiden Gleichungen?

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Das Zeichen "≡" ist kein Gleichheitszeichen, aber es hat viele Eigenschaften des Gleichheitszeichens: Man liest es "hat den gleichen Rest wie". und mod 6 heißt, dass man durch 6 teilt.

17-3y≡0 mod 6 heißt: Bei Division von 17-3y durch 6 sollte der Rest 0 sein.

17≡3y mod 6 entsteht daraus, weil man auf beiden Seiten den gleichen Term addieren darf.

 5≡3y mod 6 entsteht daraus, weil 17≡5 mod 6 und man einsetzen darf.

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bzw. wohl doch nicht :-)

was ist denn eigentlich aus der 5 vor der Klammer geworden?

Das ist doch jetzt der Beweis dass es keine Lösung für Z gibt, oder?

Wie sieht das denn dann für Q aus?

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Die 5 vor der Klammer kann man doch sowieso nicht durch 6 teilen, also bleibt nur noch der zweite Faktor 17-3y  übrig, wenn eine Teilbarkeit durch 6 erwünscht ist. In Q ist jedes Wertepaar eines Punktes der Geraden mit der Gleichung y=-0,4x+17 Lösung.

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ok, erster Teil ist wieder klar, der zweite mal wieder nicht...

Wie kommst du jetzt wieder auf die Gleichung?? Und wieso ist das ein Beweis für Q?

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Löse doch einfach die gegebene Gleichung 6x +15y = 85 nach y auf. Natürlich liegen auch Punkte mit irrationalen Wertepaaren auf der Geraden. Es fehlt der Zusatz, dass nur die rationalen Wertepaare zur Lösungsmenge gehören.

Answer 2

Klingt nach Algebra von einem höheren Standpunkt aus. :) Verzweifle selber gerade an dieser Aufgabe..

Comments

Das ist Modulararithmetik.

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;-) hab schon gehört, dass ich entdeckt wurde

Answer 3

Hallo brixx,

zu zeigen:  x = (85 - 15y) / 6  ∉ ℤ

Annahme:  6 ist Teiler von  (85 - 15y)     [ = 5 * (17-3y) ] 

 ⇔  es gibt k∈ℤ  mit    17 - 3y  =  6 * k    

[weil ein Produkt genau dann durch 6 teilbar ist, wenn mindestens ein Faktor durch 6 teilbar ist]

Da 6k und und der Summand 3y durch 3 teilbar sind, müsste auch der Summand 17 durch 3 teilbar sein.

Widerspruch, also ist die Annahme falsch.

→ 

 in der Grundmenge G = { (x,y) | x,y ∈ ℤ }      [ = ℤxℤ ]     ist die Lösungsmenge der Gleichung leer.

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In ℚ kann man offensichtlich zu jedem x∈ℚ ein passendes y∈ℚ (und umgekehrtI) ausrechnen, so dass (x|y) die Gleichung löst. ( Nachtrag: weil die Menge ℚ bzgl. der Addition und der Multiplikation und die Menge Q \ {0} bzgl. der Division abgeschlossen sind.) 

 →  in der Grundmenge G = { (x,y) | x,y ∈ ℚ  ist die Lösungsmenge der Gleichung 

        L = { (x,y) ∈ ℚxℚ |  x = (85 -15y) / 6 }    

Gruß Wolfgang

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Für Z hab ich verstanden, das für Q leider noch nicht

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6x + 15y = 85  

x = (85 -15y) / 6  ist für jedes  y∈ℚ  eine rationale Zahl, weil die Menge ℚ bzgl. der Addition und der Multiplikation und die Menge Q \ {0} bzgl. der Division abgeschlossen sind.

y = (85 - 6x) / 15   ist ebenso für jedes  x∈ℚ  eine rationale Zahl

Wo ist das Problem? 

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wenn du es so aufschreibst ist keins mehr da :-)

danke

Di Frage war auch eher ob das ein richtig mathematischer Beweis ist.

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Mit Sicherheit dann, wenn bekannt ist, dass in einer Summe, die durch k teilbar ist, nicht genau ein Summand nicht durch k teilbar sein kann.

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ok, vielen Dank für die Geduld ;-)