p(x)=ax2 +bx+(a+b).
Weisen Sie nach, dass für a = 2,5 und b = 0,5 die Funktionswerte p(1), p(2), p(3) und p(11) jeweils ganzzahlig sind.
dann ist p(x) = 2,5*x^2 + 0,5*x + 3
p(1)=2,5+0,5+3 = 6 also ganzzahlig etc.
Es sei p(x) = a x^2 + b x + (a + b) mit rationalen Koeffizienten a und b.
Ferner seien p(0) und p(−1) ganze Zahlen.
Zeigen Sie, dass p(x) für jede ganze Zahl x ganzzahlig ist.
p(0) = a+b also a+b ganzzahlig
p(-1) = a - b +a+b = 2a also auch 2a ganzzahlig.
Da a+b ganzzahlig ist, ist auch 2*( a+b) = 2a + 2b ganzzahlig,
also auch 2b ganzzahlig.
p(x) = a x2 + b x + (a + b)
= x* ( ax+b) + (a+b)
Das Ergebnis ist ganzzahlig, wenn x* ( ax+b)
ganzzahlig ist; denn a+b ist ganzzahlig.
x* ( ax+b) Dazu betrachten wir zwei Fälle
x gerade bzw. x ungerade
1. Fall x = 2n mit ganzzahligem n,
dann wird x* ( ax+b) zu
2n *(2na + b) = 2n*(n*2a+b)
= n*(n*4a + 2b)
Und 4a und 2b und n sind ganzzahlig (s.o.),
also auch der ganze Term.
2. Fall x = 2n+1 mit ganzzahligem n,
dann wird x* ( ax+b) zu
(2n+1) *((2n+1)a + b)
= (2n+1) *(2na+a + b)
= 4n^2a +2na +2nb + 2na+a + b
=4n^2a +2na +2nb + 2na+(a + b)
Hier sind alle auftretenden Summanden ganzzahlig,
also auch der ganze Term.
