Einzigkeitsquantor umschreiben

Question

ich hocke schon längers vor folgender Aufgabe:

Schreiben Sie die Aussage und ihr Gegenteil ohne den Existenquantor "∃!", nur mithilfe des Allquantors "∀" und des Existensquantor "∃"

∃!x∈M : A(x)

Ich habe mir folgendes gedacht, komme allerdings nicht mehr weiter:

∀a∈A ∃x∈M | A⊆M : A(x) ∧ x∈M ∧ x∉M

Aber das ist vermutlich Blödsinn, stehe komplett auf dem Schlauch.

Danke schon mal für jede Hilfe :)

Answer 1

wie wäre es mit:

$$ (\exists x \in M: A(x)) \wedge ( \forall y \in M: A(y) \Rightarrow y = x) $$

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,
Kannst du deine mathematische Aussage vielleicht noch etwas beschreiben? Ich komme leider nicht dahinter, wie das den Einzigkeitsquantor beschreiben soll.

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Es ex. ein x in der Menge M, so dass A(x) gilt und für alle Elemente y aus der Menge M für die A(y) gilt folgt y=x.

Die 2. Bedingung setzt halt umständlich formuliert fest, dass nur genau ein \(x\) existiert, für dass die Aussage A gilt.

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Aber mit dem Existenzquantor sage ich doch, dass mindestens ein x existiert, d.h. es können auch mehrere existieren. Das verwirrt mich etwas...

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Ich verstehe deine Frage nicht so wirklich, meine Aussage besteht doch nicht nur aus dem Existenzquantor? Sie besteht aus 2 Aussagen die eine Konjunktion bilden. Die erste sagt, dass es ein x gibt (hier steht noch nicht fest, dass es genau eins ist), aber durch die Verbindung mit der 2. Aussage sagen wir, dass es nur eins geben kann.
\( \exists !\) bedeutet übrigens genau das: "es existiert genau ein...:"

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Die Bedeutung der einzelnen Quantoren ist mir bereits bekannt. Der erste Teil des Ausdrucks ist ebenfalls verständlich.

Aber wie muss ich mir das vorstellen, dass die Aussage im rechten Teil für alle y gilt?

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So wie ich es beschrieben habe,

"Für alle y für die A(y) gilt folgt, dass y gleich x ist".

Für sich alleine genommen bedeutet diese Aussage ja nur, dass es höchstens 1 Element gibt für das die Aussage A gilt.

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ok ich denke ich habe es nun verstanden. Vielen Dank für die Hilfe.