Berechnen Sie den Term der Umkehrfunktion F^{-1} für eine Umgebung von Q .

Question

Text erkannt:

Überprüfen Sie, ob die Funktion \( F \) in einer Umgebung des Punktes \( Q \) bijektiv ist.
\( F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 2 y-z \\ x z-1 \\ y+z \end{array}\right) \quad Q=(2,5,-1) \)

Falls \( F \) in einer Umgebung von \( Q \) bijektiv ist
(a) Berechnen Sie den Term der Umkehrfunktion \( F^{-1} \) für eine Umgebung von \( Q \).
(b) Berechnen Sie \( \left.J F^{-1}\right|_{F(Q)} \).
(c) Zeigen Sie außerdem die Gültigkeit von \( \left.J F^{-1}\right|_{F(Q)}=\left(\left.J F\right|_{Q}\right)^{-1} \)
(d) Geben Sie zwei Punkte an, in deren Umgebung keine inverse Funktion existiert!

Aufgabe: bitte um Hilfe beim Rechenweg von dieser Aufgabe, danke im Voraus!

Answer 1

\( \left(\begin{array}{c} 2 y-z \\ x z-1 \\ y+z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right) \)

(1. und 3. Zeile gibt)   ==>    z=c-y  und  2y-(c-y)=a

==>   \( y=\frac{a+c}{3}  \)   und  \( z=\frac{2c-a}{3}  \)

in die 2. eingesetzt  \(  x \cdot  \frac{2c-a}{3}  - 1 = b \)  also   \(  x = \frac{3b+3}{2c-a}   \)

==> \( F^{-1}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} \frac{3y+3}{2z-x} \\  \frac{x+z}{3} \\ \frac{2z-x}{3} \end{array}\right)  \)

Was soll denn J sein ?

(d) wohl dann nicht, wenn 2z-x = 0 ist, also z.B (2,3,1).