Zeigen Sie: Die Matrix A(^⊤)A ∈ R^n×n ist stets symmetrisch und positiv semi-definit

Question

Aufgabe:

hey, ich habe eine Frage in Numerik, bei der ich nicht weiter komme.

Sei A ∈ R^m×n mit m ≥ n. Zeigen Sie: Die Matrix A(^⊤)A ∈ R^n×n ist stets symmetrisch und
positiv semi-definit. Im Fall Rang(A) = n ist A(^⊤) A sogar positiv definit.

Ich hab die Symmetrie gezeigt; dies folgt meine ich aus der Tatsache, dass die Transposition zweimal angewendet wird.

Aber ich komme einfach nicht weiter, vielleicht muss ich auch einen ganz anderen Weg wählen. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Ohne konkreten Rechenweg ist es nun schwierig zu beurteilen, was du gerechnet hast. Aber berechne einfach die Transponierte und schau, ob die ursprüngliche Matrix herauskommt.

Für die Definitheit nutze die Definition \(x^TMx\geq 0\) für alle \(x\neq 0\) und beachte, dass \(vv^T=||v||_2^2\).