Wie weise ich direkte Summen bei Vektorräumen formal nach?

Question

Aufgabe:

$$\text{Seien U und V Untervektorräume des } \mathbb{R}- Vektorraums \ \mathbb{R}^2: \\ U=span\bigg(\begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix}\bigg),\ V=span\bigg(\begin{pmatrix} 2\\1\\ \end{pmatrix}\bigg)\\ \text{Beweise dass folgendes gilt:} \mathbb{R}^2=U \oplus V$$

Wie weise ich direkte Summen bei Vektorräumen formal nach?

Answer 1

1. Zeige, dass die Summe gleich ℝ^2 ist. Das ist so, weil die

beiden Erzeugenden von U und V eine Basis von ℝ^2 bilden.

2. Für "direkt" zeige noch:  U ∩ V = {0}.

Comments

Zeige ich die Aussage dass die Summe gleich R^2 ist für beliebige (x,y)?

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Etwa in der Form:

Sei (x,y)∈ℝ² .

Dann gibt es \( \vec{a} \in U \)  und \( \vec{b} \in V \)

mit (x,y) = \( \vec{a} + \vec{b} \).