Wann gilt das Gleichheitszeichen?

Question

Aufgabe:Seien \( x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2} \) Elemente eines geordneten Körpers \( K \). Beweisen Sie unter Verwendung der Axiome aus Definition 9 sowie der Proposition 5:
i) \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{1} x_{2}-x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3} \geq 0 \). Wann gilt das Gleichheitszeichen?

Problem/Ansatz: ich bin gerade etwas überfordert weil theoretisch müssten alle Faktoren 0 oder 1sein damit es gleich 0 ist?

Comments

Gleichheit gilt offenbar dann, wenn \(x_1=x_2=x_3\) ist.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom=x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz$$$$=\left(\frac{x^2}{2}-xy+\frac{y^2}{2}\right)+\left(\frac{x^2}{2}-xz+\frac{z^2}{2}\right)+\left(\frac{y^2}{2}-yz+\frac{z^2}{2}\right)$$$$=\frac12\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac12\left(x^2-2xz+z^2\right)+\frac12\left(y^2-2yz+z^2\right)$$$$=\frac12(x-y)^2+\frac12(x-z)^2+\frac12(y-z)^2\;\stackrel!=0$$

Da \(\,a^2=0\,\) nur dann gilt, wenn \(\,a=0\,\) ist, wird der obige Term Null, wenn gilt:$$x=y\;\land\;x=z\;\land\;y=z\quad\text{bzw.}\quad x=y=z$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort ! :) Wieso hast du beim 2. Schritt es mit 1/2 erweitert ?

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Hat6 er doch garn nicht. Er hat 1/2 AUSGEKLAMMERT.

Und warum?

Weil es nützlich war!

Answer 2

Wie ist es mit  \( x_{1}=x_{2}=x_{3} \)   ?