Berechne die erste und zweite Ableitung von y= 3 x hoch 2

Question

Aufgabe:

Berechne die erste und zweite Ableitung von y= 3 ^{x hoch 2} 

Problem/Ansatz:

Kann mir das bitte jemand ableiten? Ich schaff nichtmal die erste Ableitung, weil ich die Verkettung nicht erkenne... haben wir hier etwa eine dreifache Verkettung? dankeschön

Answer 1

Aloha :)

Wir nutzen aus, dass die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion ihre Wirkungen gegenseitig aufheben, dass also \(\,e^{\ln(a)}=a\,\) gilt, sofern natürlich \(\,a>0\,\) ist. Mit \(\,a=3^{x^2}\,\) heißt das:$$y(x)=3^{x^2}=e^{\ln\left(3^{x^2}\right)}=e^{\pink{x^2\ln(3)}}$$

Für die erste Ableitung verwenden wir die Kettenregel, dazu habe ich die innere Funktion pink dargestellt:$$y'(x)=\underbrace{e^{\pink{x^2\ln(3)}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x\ln(3)}_{\text{innere Abl.}}=3^{x^2}\cdot x\ln(3^2)=3^{x^2}\cdot x\ln(9)$$

Das leiten wir gleich nochmal ab, diesmal mit Produkt- und Kettenregel:$$y''(x)=\left(e^{\pink{x^2\ln(3)}}\right)'\cdot2x\ln(3)+e^{\pink{x^2\ln(3)}}\cdot\left(2x\ln(3)\right)'$$$$\phantom{y''(x)}=\left(e^{\pink{x^2\ln(3)}}\cdot2x\ln(3)\right)\cdot2x\ln(3)+e^{\pink{x^2\ln(3)}}\cdot\left(2\ln(3)\right)$$$$\phantom{y''(x)}=3^{x^2}\cdot4x^2\ln^2(3)+3^{x^2}\cdot2\ln(3)=3^{x^2}\cdot x^2\ln^2(3^2)+3^{x^2}\ln(3^2)$$$$\phantom{y''(x)}=3^{x^2}\ln(9)\left(x^2\ln(9)+1\right)$$

Answer 2

\(f(x)= 3^{x^{2}} \)

\(f´(x)= ln(3)\cdot3^{x^{2}}\cdot2x \)

Answer 3

Verkettungen kann man immer gut erkennen, wenn man den \(x\)-Term substituiert. Setze also \(x^2=t\) und du erhältst \(3^t\) und kannst dann damit erkennen, dass die äußere Funktion \(u(x)=3^x\) ist. Die innere Funktion ist dann deine Substitution, also \(v(x)=x^2\).

Weitere Beispiele:

\(f(x)=\sin(2x+1)\): \(u(x)=\sin(x), v(x)=2x+1\)

\(f(x)=\sqrt{2^x}\): \(u(x)=\sqrt{x}, v(x)=2^x\)

\(f(x)=\frac{2}{x^3-1}\): \(u(x)=\frac{1}{x}, v(x)=x^3-1\)

Answer 4

f(x) = a^(g(x))

f '(x) = f(x)*ln(a)*g'(x)